フレシェ分布

フレシェ分布

フレシェ分布（英語: Fréchet distribution）は、確率論および統計学における連続確率分布の一つであり、極値理論において重要な役割を果たします。特に、様々な確率変数から得られる標本における最大値の極限分布として現れることが知られています。この分布は、しばしば逆ワイブル分布という別名でも言及されます。

フレシェ分布は、確率分布の大きな分類である一般化極値分布（Generalized Extreme Value distribution, GEV）の特別なケースとして位置づけられています。GEVは、最大値の漸近分布が収束しうる可能性のある三つのタイプ（タイプI、II、III）を統合したものです。フレシェ分布はこのうちのタイプII極値分布に相当し、タイプIはガンベル分布、タイプIIIはワイブル分布として知られています。

フレシェ分布という名称は、20世紀初頭にこの分布の理論的基礎を築いたフランスの傑出した数学者、モーリス・ルネ・フレシェ（Maurice René Fréchet）に敬意を表して名付けられました。

研究の発展

フレシェ分布に関する研究は、モーリス・ルネ・フレシェ自身が1927年に発表した論文に端を発します。この論文では、確率変数の最大値が従う漸近的な分布について考察が行われました。

その後、統計学者のロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットは、1928年の画期的な共著論文において、標本における最大値または最小値の極限分布が、ガンベル分布、フレシェ分布、ワイブル分布のいずれか三つの形式しか取り得ないことを数学的に厳密に示しました。この結果は、極値統計学の基本的な定理の一つとなっています。

さらに、エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布全般に関する詳細な研究を推進し、1958年には極値統計学に関する包括的な著作をまとめ上げました。これにより、極値分布の研究は体系化され、様々な分野での応用が進む基盤が確立されました。

定義と性質

フレシェ分布の基本的な形式は、位置パラメータや尺度パラメータを含まない単純な形で定義されることが多いです。形状パラメータ $\alpha > 0$ を持つフレシェ分布の累積分布関数（Cumulative Distribution Function, CDF）は、確率変数 $X$ が $x$ 以下の値を取る確率を以下のように与えます。

$$F(x) = \Pr(X \leq x) = e^{-x^{-\alpha}} \quad \text{if } x > 0.$$

このCDFを微分することで得られる確率密度関数（Probability Density Function, PDF）は、以下のように記述されます。

$$f(x) = \alpha x^{-\alpha - 1} \; e^{-x^{-\alpha}} \quad \text{if } x > 0.$$

フレシェ分布の期待値（平均）と分散は、形状パラメータ $\alpha$ の値に依存します。期待値は $\alpha > 1$ の場合に存在し、以下のようにガンマ関数 $\Gamma$ を用いて表現されます。

$$E[X] = \Gamma\left(1 - \frac{1}{\alpha}\right) \quad \text{if } \alpha > 1.$$

分散は $\alpha > 2$ の場合に存在し、以下の式で与えられます。

$${\text{Var}}(X) = \Gamma\left(1 - \frac{2}{\alpha}\right) - \left(\Gamma\left(1 - \frac{1}{\alpha}\right)\right)^{2} \quad \text{if } \alpha > 2.$$

ここで、$\Gamma(z)$ は、$\Gamma(z) := \int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx$ で定義されるガンマ関数です。

フレシェ分布、ガンベル分布、ワイブル分布は、一般化極値分布として単一の関数形で表現されることもあり、パラメータの値によってこれら三つのタイプに分かれます。

一般化フレシェ分布

基本的なフレシェ分布に、位置パラメータ $m$ と尺度パラメータ $s > 0$ を加えることで、より柔軟な「一般化フレシェ分布」を定義することができます。これにより、分布の位置や広がりを調整できるようになります。

一般化フレシェ分布の累積分布関数は以下のようになります。

$$F(x) = \Pr(X \leq x) = e^{-\left({\frac{x-m}{s}}\right)^{-\alpha}} \quad \text{if } x > m.$$

対応する確率密度関数は以下の通りです。

$$f(x) = \frac{\alpha}{s} \; \left({\frac{x-m}{s}}\right)^{-1-\alpha} \; e^{-\left({\frac{x-m}{s}}\right)^{-\alpha}} \quad \text{if } x > m.$$

この一般化により、フレシェ分布はより多様なデータへの適用が可能となります。

応用例

フレシェ分布は、極端な事象を扱う様々な分野で応用されています。

水文学: 年間の最大降水量や河川の最大流量など、極端な水象現象の頻度分析に利用されます。これは、洪水リスク評価などにおいて重要です。

金融: 株式市場における極端な価格変動やリターン（収益率）の分布モデリングに応用されることがあります。金融市場のテールリスク（発生確率は低いが、発生した場合の影響が大きいリスク）分析に役立ちます。

* 国際経済学（貿易論）: 国際貿易の分野、特に比較優位や絶対優位をモデル化する際に用いられます。著名な例として、Eaton and Kortum (2002) の貿易モデルでは、各国が財を生産する際の技術的効率性がフレシェ分布に従うと仮定されています。
このモデルでは、国 $i$ の効率性 $Z_i$ の分布が $F_i(z) = \Pr(Z_i \leq z) = e^{-T_i z^{-\theta}}$ という形で表されます。ここで $\theta > 1$ は形状パラメータであり、値が小さいほど効率性のばらつきが大きく、比較優位が貿易パターンに与える影響が強くなることを意味します。また、$T_i > 0$ は分布のスケールに関わるパラメータで、$T_i$ が大きいほどその国の技術水準が高く、絶対優位が強くなる傾向を示します。

フレシェ分布は、これらの例に限らず、地震の最大規模や保険における巨額の損害請求額など、様々な分野で発生する極端な値の統計的解析に不可欠なツールとなっています。

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