ブラ-ケット記法とは？意味をやさしく解説

ブラケット記法

ブラケット記法（bra-ket notation）、またはディラックの記法は、量子力学での量子状態を示すための重要な表現方法です。この記法は、1939年にポール・ディラックによって提案され、彼の教科書『量子力学の原理』（1947年版から採用）で広く知られるようになりました。

基本概念

ブラケットから生じた名称は、量子状態を2つの異なるベクトル、すなわち「ブラ」⟨φ|と「ケット」|ψ⟩を使って表現することに由来します。この2つのベクトルの内積⟨φ|ψ⟩は、括弧（bracket）を見立てた形になっていることから、この名がつけられました。

ブラとケットの定義

ブラ⟨φ|は、ケット|ψ⟩が存在するベクトル空間の双対空間に属するものとして定義されます。作用素（線型関数）を表すためには、通常、帽子付きの記号（例: Ō^）を用います。この場合、作用素がケットに適用される際は、次のように表記されます:

$$
Ō^|ψ⟩
$$

内積は、しばしばかっこの外に書かれ、以下のようになります:

$$
⟨φ|Ō^|ψ⟩
$$

また、ケット|ψ⟩に基づく作用素は、特定の表記法|η⟩⟨ξ|ψ⟩を使いますが、同様のブラに対する作用素も同じ記号|η⟩⟨ξ|が使われることがあります。

性質

この記法の特筆すべき点は、ブラとケットの随伴が互いに変換されることです。具体的には、次のような関係が成り立ちます:

$$
⟨ψ|^{ ext{†}} = |ψ
angle,
|ψ
angle^{ ext{†}} = ⟨ψ|
$$

また、量子力学では状態|ψ⟩に対する観測可能量Ō^の期待値は、次のように表現されます:

$$
⟨ψ|Ō^|ψ⟩
$$

初心者向けの解説として、ケットは行列の列ベクトルと、ブラは行ベクトルとして理解されることがあります。

メリット

ブラケット記法の主な利点は数多くあります。例えば:

1. 基底に依存しない定式化が可能です。
2. 固有値が離散または連続のどちらの場合も統一的に扱える点です。
3. 表記の自由度が高く、さまざまなパラメータを利用できる点が挙げられます。例えば、|n, l, m⟩のような表記や、|生きている猫⟩という表現も可能です。

無限次元での概念

ディラックによると、ケット|ψ⟩が存在する空間において、ブラ⟨φ|は線形汎関数を表すものとなります。無限次元の場合、ブラの空間はケットの空間よりも広いことがあるものの、同型部分空間が存在しているため、内積は常に定義可能です。量子力学では、ケットとブラのどちらも物理的な量子状態を適切に表すために使用されます。

正規直交基底と記法

設定された正規直交基底のラベルで示す内積は、離散基底ではクロネッカーのデルタを、連続基底ではデルタ関数を使用して表現されます。その具体的な形は以下の通りです:

- 離散基底: $$⟨α|β⟩ = δ_{α, β}$$
- 連続基底: $$⟨α|β⟩ = δ(α - β)$$

さらに、これらの基底の完全性も記述可能であり、離散および連続基底それぞれについて以下のような式が成立します:

- $$∑_α |α⟩⟨α| = 1$$
- $$∫ dα |α⟩⟨α| = 1$$

ただし、連続基底に関しては数学的に議論の余地があります。

第二量子化とブラケット記法

第二量子化では、粒子生成演算子を用いて2粒子状態を表現する際、例えば次のように定義取り行います:

$$

αβ⟩ = a_{α}^{†} a_{β}^{†}

0⟩
$$

フェルミ粒子ではこの状態は反交換関係を満たし、ボース粒子では交換関係が成立します。詳細な数式を挙げると、以下のように示されます。

- フェルミ粒子: $$|αβ⟩ = -|βα⟩$$
- ボース粒子: $$|αβ⟩ = |βα⟩$$

波動関数との関わり

最後に、ケット|ψ⟩と波動関数ψ(x)との関係は以下のように表されます:

$$
ψ(x) = ⟨x|ψ⟩,

ψ⟩ = ∫_{-∞}^{∞} d x\, ψ(x)

x⟩
$$

この時、位置演算子の固有値を示すことによりケットをさらに解釈可能にします。特に、位置演算が対象の固有値と対応する固有ケット|x⟩にどのように適用されるかが示されます。

参考文献

- Dirac, P. A. M. (1939). A new notation for quantum mechanics.
- Dirac, P. A. M. (1947). The principles of quantum mechanics.

このように、ブラケット記法は量子力学において多くの可能性を持つツールです。

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