プラントル数

プラントル数：流体の熱伝達特性を理解する鍵

プラントル数 (Prandtl number, Pr) とは、流体の熱伝導特性を表す重要な無次元数です。流体の動粘度と温度拡散率の比として定義され、その値によって流体の熱伝達現象における挙動が大きく変化します。本稿では、プラントル数の定義、物理的意味、そして関連する概念について詳しく解説します。

プラントル数の定義

プラントル数は、次の式で定義されます。

\(Pr = \frac{
u}{\alpha} = \frac{\eta c_p}{k}\)

ここで、

\(
u = \frac{\eta}{\rho}\) は動粘度 (kinematic viscosity) です。
\(\alpha = \frac{k}{\rho c_p}\) は温度拡散率 (thermal diffusivity) です。
\(\eta\) は粘度 (dynamic viscosity) (Pa・s) です。
\(k\) は熱伝導率 (thermal conductivity) (J s⁻¹ m⁻¹ K⁻¹) です。
\(\rho\) は密度 (density) (kg m⁻³) です。
\(c_p\) は定圧比熱 (specific heat at constant pressure) (J kg⁻¹ K⁻¹) です。

プラントル数の値は、流体の種類や温度によって変化します。例えば、水は約7、空気は約0.7、液体金属は約0.01です。

プラントル数の物理的意味

プラントル数は、流体の運動量拡散と熱拡散の相対的な大きさを表します。

Pr >> 1: 運動量拡散が熱拡散よりもはるかに速いことを示します。これは、粘性効果が支配的であり、熱伝達は粘性によって制限されることを意味します。このような流体では、速度境界層の厚さが温度境界層の厚さよりも大きくなります。
Pr ≈ 1: 運動量拡散と熱拡散の速度がほぼ等しいことを示します。速度境界層と温度境界層の厚さがほぼ等しくなります。
Pr << 1: 熱拡散が運動量拡散よりもはるかに速いことを示します。これは、熱伝達が非常に速く、粘性効果は比較的無視できることを意味します。速度境界層の厚さが温度境界層の厚さよりも小さくなります。

プラントル数は、熱対流現象の解析において非常に重要です。レイリー数とプラントル数の組み合わせによって、対流セルのパターンや安定性が決まります。プラントル数が大きい流体では、定常的な対流セルが形成されやすくなります。そのため、実験においては、プラントル数の大きいシリコンオイルなどが用いられることがあります。

プラントル数の応用

プラントル数は、様々な工学分野で利用されています。例えば、

熱交換器の設計
航空機の空力加熱の解析
マイクロ流体デバイスの設計
* 燃焼現象の解析

などにおいて、プラントル数は重要なパラメータとなります。

関連する無次元数

プラントル数と同様に、流体の物性を特徴づける無次元数には、シュミット数があります。シュミット数は、動粘度と物質拡散係数の比を表し、物質移動現象の解析に用いられます。

まとめ

プラントル数は、流体の熱伝達特性を理解する上で非常に重要な無次元数です。その値は、流体の種類、温度、圧力などに依存し、熱伝達現象の挙動を決定づける上で重要な役割を果たします。様々な工学分野において、プラントル数は重要なパラメータとして活用されています。

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