二階導関数

二階導関数：変化率の変化率

微分積分学において、二階導関数は、関数の導関数の導関数として定義されます。簡単に言えば、ある量の変化率そのものがどのように変化しているかを示す指標です。例えば、物体の位置を時間に対して二階微分すると、その物体の瞬間加速度、つまり速度の変化率がわかります。

ライプニッツの記法では、[加速度]、[速度]、時間(t)、位置(x)を用いて、以下の式で表せます。

$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}$

最後の項$\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}$は、位置(x)の時間(t)に対する二階導関数です。

グラフ上の表現

グラフ上で、二階導関数は曲線の曲率や凹凸に対応します。二階導関数が正の範囲ではグラフは下に凸（凸関数）、負の範囲では上に凸（凹関数）となります。

冪乗公式

一階導関数の冪乗公式を2回適用することで、二階導関数の冪乗公式が得られます。

$\frac{d^2}{dx^2}[x^n] = n(n-1)x^{n-2}$

記法

関数f(x)の二階導関数は、一般的にf''(x)と表記されます。つまり、f'' = (f')' です。ライプニッツの記法では、$\frac{d^2y}{dx^2}$と表記され、これは$\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$から導かれます。

他にも記法は存在しますが、ライプニッツの記法$\frac{d^2y}{dx^2}$は代数的な操作ができないという欠点があります。微分の分数のように見えますが、分数を分割したり、項を打ち消したりすることはできません。この制限は、商の微分法則を適用することで解決できます。

例

関数f(x) = x³ の導関数はf'(x) = 3x²であり、二階導関数はf''(x) = 6xです。

グラフとの関連性

凹凸

二階導関数の符号によって関数の凹凸を調べることができます。二階導関数が正の範囲は下に凸、負の範囲は上に凸となります。

変曲点

二階導関数の符号が変わる点を変曲点と呼びます。二階導関数が連続であれば、変曲点では必ず0となりますが、二階導関数が0となる点がすべて変曲点とは限りません。

極値判定

二階導関数を利用して、停留点(f'(x) = 0となる点)が極大値か極小値かを判定できます。

f''(x) < 0 ならば、xで極大
f''(x) > 0 ならば、xで極小
f''(x) = 0 ならば、xは変曲点候補であり、極大値か極小値かは判断できません。

極限による表現

極限を用いて二階導関数を以下のように表すことができます。

$\f''(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$

この極限は二階対称導関数と呼ばれ、通常の二階導関数が存在しない場合でも存在することがあります。しかし、この極限が存在しても、必ずしも関数が二階導関数を持つとは限りません。

二次近似

一階導関数が線形近似と関連するように、二階導関数は関数の最良の二次近似と関連しています。x=a付近での関数の最良の二次近似は、テイラー展開の二次までの項で表されます。

$\f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$

高次元への一般化

ヘッセ行列

高次元関数において、二次導関数は二次偏導関数の概念に拡張され、ヘッセ行列という対称行列で表されます。この行列の固有値は、極値判定に用いることができます。

ラプラシアン

ラプラシアン(∇²)は、二次偏導関数の和として定義される微分作用素です。勾配の発散、ヘッセ行列のトレースと等しくなります。

関連事項

チャープ率
有限差分
二階導関数判定法
* ヤングの定理

この説明が、二階導関数の理解に役立つことを願っています。

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