ペントミノ

ペントミノは、同じ大きさの正方形を5つ、辺同士がぴったり合うように連結させて作られる平面図形です。これらの図形は、より一般的な概念である「ポリオミノ」のうち、正方形が5個の場合にあたります。

回転させたり裏返したりして同じ形になるものを同一種類とみなした場合、ペントミノは全部で12種類存在します。これらの種類にはそれぞれ、I、L、P、N、T、U、V、W、F、X、Y、Zといったアルファベットになぞらえた記号が付けられています。もし鏡像を異なるものとして区別する場合、種類はさらに6つ増えて合計18種類になります。これらは特に「片面型ペントミノ」と呼ばれることがあります。

12種類のペントミノは、その持つ対称性によって以下のように分類できます（回転角度が90度の倍数の場合）：

線対称でも点対称でもない: F, L, N, P, Y
線対称ではないが点対称である: Z
線対称であるが点対称でない: T, U, V, W
2本の線対称軸を持ち、点対称でもある: I
4本の線対称軸を持ち、90度回転に対しても対称である: X

パズル・玩具としての展開

ペントミノは、その多様な形状を活かし、多くのメーカーからパズルや知育玩具として販売されています。素材としてはプラスチック製や木製が多く見られます。日本国内では、テンヨー社製の「プラパズル」が代表的な製品として知られています。また、12個のピースという数にちなみ、十二星座や十二支などをモチーフにしたデザインの製品も存在します。

様々な問題

敷き詰めパズル

ペントミノを使った最も古典的でよく知られている問題は、12個全てのピースを使って特定の形状を隙間なく埋める「敷き詰めパズル」です。中でも、長方形を作る問題は非常にポピュラーです。

12個のピースの総面積は5平方単位 × 12ピース = 60平方単位となるため、作ることができる長方形のサイズは、面積60の約数の組み合わせ（辺の長さを整数と仮定）に限られます。主なものに 3×20、4×15、5×12、6×10 があります。それぞれの解の総数は以下の通りです（回転・鏡映で同一となる解は1つと数えます）：

6×10 の長方形：2,339通り
5×12 の長方形：1,010通り
4×15 の長方形：368通り
3×20 の長方形：わずか2通り

これらの解は、手計算では困難なため、主にコンピューターによって探索されました。特に6×10長方形の全解は、1960年にイギリスの研究者C.ブライアン・ヘイゼルグローブ夫妻によって求められた歴史を持ちます。また、8×8の正方形の中央に2×2の穴が開いた形（面積60）への敷き詰め問題は、1958年にデイナ・スコットによって解が65個であることが算出されています。

興味深いことに、6個ずつを組み合わせて2つの6×5の長方形を作る問題の解から、6×10や5×12のそれぞれ8種類の解を導くことができるとされています。

ペントミノファーム

1セットのペントミノを用いて、中に空所を含む図形を作る問題は「ペントミノファーム」と総称されます。この問題では、空所が外部と点で接触してはならないというルールがあります。外形も空所も自由に設定できる場合、最大で面積128の空所を持つ図形が存在することが証明されています。

特定の条件下での最大空所面積も研究されており、例えば外形は自由で空所が長方形の場合（90）、外形は長方形で空所の形が自由な場合（61）、全体が線対称である場合（88）、点対称である場合（59）などが知られています（括弧内の数字は確認されている空所の最大面積）。

その他の問題

他のバリエーションとして、12種類の中から1つを選び、残りの11種類のうち9種類を使って、選んだピースの大きさを3倍にした図形を作る問題があります。また、9セットのペントミノ全体を用いて、1セットのペントミノの大きさを3倍にした図形を作ることも可能です。

対戦ゲーム

ペントミノは2人用の対戦ゲームとしても楽しまれます。典型的なルールでは、8×8などのマス盤面に、プレイヤーが交互にペントミノのピースを置いていきます。盤面にピースを置けなくなったプレイヤーが負けとなります。このゲームは、両プレイヤーが最善の手を尽くした場合、最初にピースを置いたプレイヤーが勝利することが分かっています。

立体ペントミノ

平面的なペントミノを、各正方形を単位立方体とした立体とみなしたものは「立体ペントミノ」または「プレイナーペンタキューブ」と呼ばれます。これも同様に12種類が存在します。

これらの立体ペントミノ全てを使って、直方体を作る問題も存在します。例えば、以下のような解の総数が知られています（辺の長さが1より大きい場合が多い）：

5×4×3 の直方体：3940通り
6×5×2 の直方体：264通り
10×3×2 の直方体：12通り

5×4×3の直方体の3940通りという解数は、かつて富士通のコンピューターFACOM 270シリーズによって計算されたことに由来し、テンヨーのプラパズル製品が「FACOM」の愛称で呼ばれたエピソードがあります。

また、特定の1種類の立体ペントミノだけを複数個使って直方体を作る問題も研究されており、X以外の全ての種類のペントミノで直方体を作ることが可能であることが分かっています。ただし、ピースによっては50個以上という大量のピースが必要になる場合もあります。I型の立体ペントミノは、それ自体が直方体（1×1×5や1×5×1など）ですが、25個のI型ピースを5列5段に並べることで立方体（5×5×5）を作ることもできます。

ライフゲームにおけるペントミノ

ジョン・ホートン・コンウェイが考案したセル・オートマトンである「ライフゲーム」において、初期配置としてペントミノを置いた場合のパターンの変化は、早い段階から研究されました。

多くのピース（N, P, U, Y, Z）は比較的短期間で消滅します。V型とW型は数世代で安定したパターン（ブロックや蜂の巣など）に落ち着きます。I, L, T, X型は、世代を経ると「信号灯」（ブリンカーと呼ばれる周期的なパターンが集まったもの）に変化します。

特にFペントミノ（ライフゲーム関連では「rペントミノ」や「Rペントミノ」とも呼ばれます）は、非常に複雑な変化をたどることで知られています。このFペントミノの挙動を追う過程で、ライフゲームにおける重要な移動物体である「グライダー」が偶然発見されました。Fペントミノが完全に安定したパターンに落ち着くまでには、1103世代もの時間を要し、最終的には複数のブロック、蜂の巣、ボート、船、パン、ブリンカー、そしてグライダーから構成される複雑な静止・振動パターンとなります。

その他

ペントミノという言葉は、数学者ソロモン・ゴロムによって広められましたが、彼が1975年に取得した商標は、少なくとも1982年までには失効しています。

日本のコンピュータ開発に貢献した池田敏雄は、玩具メーカーからの依頼でペントミノに触れたことがきっかけでその魅力にのめり込み、テレビ番組で紹介するほどになったという逸話が残っています。

落ち物パズルゲームの古典である「テトリス」の作者アレクセイ・パジトノフは、テトリスのブロックのアイデアをペントミノから得たと語っています。テトリスのブロックは4つの正方形からなる「テトロミノ」ですが、その発想元としてペントミノが影響を与えたことが知られています。

参考文献

（省略）

関連項目

ポリオミノ
地球帝国 (SF小説)
ボンブリス (ゲーム)
ポケモンショックテトリス (ゲーム)

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