ホッジ構造

ホッジ構造とその展開

数学におけるホッジ構造は、代数的な対象に付随するコホモロジー群が持つ複雑な構造を、線形代数の言葉で捉え直した概念です。特に、ウィリアム・バーランス・ダグラス・ホッジによるホッジ理論が、滑らかでコンパクトなケーラー多様体のコホモロジー群に与えた豊かな代数構造を範としています。

純粋ホッジ構造

ウェイト $n$ ($n \in \mathbb{Z}$) の純粋ホッジ構造は、有限生成アーベル群 $H_{\mathbb{Z}}$ とその複素化 $H := H_{\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}$ に対して与えられる構造です。これは、複素線形空間 $H$ が部分空間の直和に分解されることとして定義されます。
$$ H = \bigoplus_{p+q=n} H^{p,q} $$.ここで、各部分空間 $H^{p,q}$ は、その複素共役が $H^{q,p}$ と一致するという性質を持ちます。

この直和分解と等価な定義として、ホッジフィルトレーションを用いる方法があります。これは、複素線形空間 $H$ の有限な減少フィルトレーション $F^p H$ ($p \in \mathbb{Z}$) で、特定の条件を満たすものです。このフィルトレーションと前述の直和分解は相互に関係しています。

純粋ホッジ構造の典型的な例は、コンパクトなケーラー多様体 $X$ のコホモロジー群 $H^n(X, \mathbb{Z})$ の複素化 $H^n(X, \mathbb{C})$ が持つ構造です。ホッジ理論はこのコホモロジーに直和分解を与え、ウェイト $n$ の純粋ホッジ構造を定めます。

さらに、純粋ホッジ構造に偏極という構造を加えた偏極ホッジ構造も重要です。これは、ホッジ構造 $(H_{\mathbb{Z}}, H^{p,q})$ と、 $H_{\mathbb{Z}}$ 上の非退化な整数値双線型形式 $Q$ の組からなります。この形式 $Q$ は複素線形に拡張され、特定の性質（例えば、ある条件での直交性や正定値性）を満たします。

純粋ホッジ構造は、複素数 $\mathbb{C}^$ の乗法群、あるいは実数上の2次元代数的トーラスとみなせる群の作用によって記述することもできます。この作用において、部分空間 $H^{p,q}$ は、 $z \in \mathbb{C}^$ が $z^p \overline{z}^q$ 倍として作用する空間として特徴づけられます。

係数をより一般化したA-ホッジ構造も定義されます。これは、実数のネター部分環 $A$ を係数として、アーベル群 $\mathbb{Z}$ を $A$ に置き換えてホッジ構造の定義を拡張したものです。

混合ホッジ構造

1960年代、ヴェイユ予想の研究などを背景に、ジャン＝ピエール・セールは特異点を持つ代数多様体や完備でない代数多様体に対しても、「仮想ベッチ数」と呼べるような概念が存在することを見出しました。これは、代数多様体のコホモロジー群が、あたかも異なるウェイトに対応する部分を持っているかのように見えることを示唆していました。

この観察は、アレクサンドル・グロタンディークによる混合モチーフの予想へと繋がり、ホッジ理論の一般的な拡張を研究する強力な動機となりました。この研究は、1970年代にピエール・ドリーニュの画期的な仕事によって結実します。彼は混合ホッジ構造の概念を導入し、広中平祐による特異点解消などを基盤として、全ての複素多様体（特異点や非完備性を持つものを含む）のコホモロジー群にこの構造を構成しました。これはヴェイユ予想の最終的な証明においても重要な役割を果たしました。

混合ホッジ構造は、アーベル群 $H_{\mathbb{Z}}$ に付随する2つのフィルトレーションの組として定義されます。一つは複素化 $H = H_{\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}$ 上の減少フィルトレーション $F^p$（ホッジフィルトレーション）、もう一つは有理化 $H_{\mathbb{Q}} = H_{\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Q}}$ 上の増加フィルトレーション $W_i$（ウェイトフィルトレーション）です。これらのフィルトレーションは、ウェイトフィルトレーションによる次数付き商 $\operatorname{gr}_n^W H = W_n \otimes \mathbb{C} / W_{n-1} \otimes \mathbb{C}$ が、ホッジフィルトレーションから誘導される構造とともに、全ての $n$ についてウェイト $n$ の純粋ホッジ構造となる、という条件を満たします。

コンパクトなケーラー多様体のコホモロジーも、混合ホッジ構造を持つとみなせます。この場合、ウェイトフィルトレーションの空間 $W_n$ は、次数 $n$ 以下の有理係数コホモロジー群の直和に対応します。古典的なホッジ理論ではコホモロジー空間は直和に分解されましたが、一般の代数多様体の場合は二つのフィルトレーションを持つものの、必ずしも単純な直和分解は持ちません。混合ホッジ構造は、純粋ホッジ構造のC作用による記述とは異なり、より複雑な構造を反映しています。

混合ホッジ構造の概念は圏論的に整理され、その圏はアーベル圏であり、核や余核が通常のアーベル群のそれと一致することが示されています。また、多様体の積に対応するテンソル積や、内部 Hom、双対対象なども存在し、この圏が淡中圏となることが、ドリーニュとジェームス・ミルンによって明らかにされています。

ドリーニュは、任意の代数多様体の $n$ 次コホモロジー群が標準的な混合ホッジ構造を持つことを証明しました。この構造は多様体に対して函手的であり、多様体の積やコホモロジー積とも整合性があります。

ホッジ構造の変形

フィリップ・グリフィスにより1968年に研究が開始されたホッジ構造の変形は、複素多様体 $X$ によってパラメトライズされたホッジ構造の族を指します。これは、X 上の有限生成アーベル群の局所定数層 $S$ と、その複素化 $S \otimes \mathcal{O}_X$ 上の減少するホッジフィルトレーションから構成されます。このフィルトレーションは、層 $S$ の各点の茎上でウェイト $n$ のホッジ構造を誘導し、かつグリフィス横断性と呼ばれる条件を満たします。グリフィス横断性とは、$S \otimes \mathcal{O}_X$ 上の自然な接続（ガウス・マーニン接続）が、フィルトレーションの空間 $F^p$ を一つ下の空間 $F^{p-1}$ と1形式の層 $\Omega_X^1$ のテンソル積に写すという性質です。これはピカール・フックス方程式によって記述されます。

ホッジ加群

1989年、斎藤盛彦によって導入された混合ホッジ加群は、ホッジ構造の変形をさらに一般化した、複素多様体上の「層のような」概念です。その詳細な定義は高度に技術的ですが、特異点を持つ多様体上の構造も扱うことができます。各スムーズな複素多様体には、これに関連する混合ホッジ加群のアーベル圏が存在し、多様体間の写像が層の間の函手のように、この圏の対象や射に作用します。

応用

ホッジ構造および混合ホッジ構造は、数多くの分野に応用されています。特に、アレクサンドル・グロタンディークが提唱したモチーフ理論の構成要素として、その中心的な役割を担います。代数多様体の数論的な性質は、しばしばl-進コホモロジー上のフロベニウス作用素の固有値に反映されますが、これは複素多様体として見た場合のホッジ構造と共通する要素を持つことが知られています。セルゲイ・ゲリファンドとユーリ・マーニンが指摘した「ホッジ対称性」の神秘性、そしてそれが後にミラー対称性の発見と定式化に繋がったという歴史は、この分野の深遠さを示しています。ホッジ構造に関連する概念は、代数幾何学、数論、表現論、理論物理学など、現代数学の広範な領域で基礎的な役割を果たしています。

参考文献

Pierre Deligne による一連の論文 (Théorie de Hodge I, II, III など)
Phillip Griffiths によるホッジ構造の変形に関する論文
斎藤盛彦による混合ホッジ加群に関する論文
J. Milne による解説記事
上野健爾、清水勇二『モジュライ理論3』 (岩波書店)

（注：数式はMarkdown形式で記述可能な範囲で表現しています）

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