ホフスタッター点

ホフスタッター点

ホフスタッター点（ほふすたったーてん、英: Hofstadter points）は、ユークリッド幾何学における三角形の中心概念を拡張した点集合の一つです。特定の規則に従って定義されるこれらの点の中には、古くから知られる幾何学的中心や、比較的新しく発見された点が含まれます。特に著名なものとして、ホフスタッター1点（X(359)）とホフスタッター0点（X(360)）があり、これらはクラーク・キンバリングが編纂する「Encyclopedia of Triangle Centers」に特定の番号で登録されています。ホフスタッター0点は、1992年にダグラス・ホフスタッターによって発見されたことにその名を由来します。

この点の定義は、「ホフスタッターr三角形」と呼ばれる補助的な三角形の概念から始まります。任意の三角形△ABCと任意の実数rが与えられたとき、以下のように新しい点A(r), B(r), C(r)を定めます。点A(r)は、線分BCを点Bを中心に角度rBだけ回転させた直線と、線分BCを点Cを中心に角度rCだけ回転させた直線の交点として定義されます（回転方向は点Aのある方向を指定するとされています）。同様の方法で点B(r)とC(r)も定義できます。これらの点A(r), B(r), C(r)を頂点とする三角形が、元の三角形△ABCに対するホフスタッターr三角形です。

ホフスタッターr三角形は、rの値によって特別な意味を持つ場合があります。例えば、r=1/3の場合に得られるホフスタッター1/3三角形は、常に正三角形となり、第一モーリーの三角形として知られています。r=1/2の場合は、ホフスタッター1/2三角形の頂点が元の三角形の内心と一致します。また、r=2/3の場合は、第一モーリーの三角形に付随する付属三角形が得られます。ホフスタッターr三角形の頂点の三線座標は、元の三角形の角A, B, Cと実数rを用いて以下のように表されます。

A(r): `(1 : sin(rB)/sin((1-r)B) : sin(rC)/sin((1-r)C))`
B(r): `(sin(rA)/sin((1-r)A) : 1 : sin(rC)/sin((1-r)C))`
C(r): `(sin(rA)/sin((1-r)A) : sin((1-r)B)/sin(rB) : 1)`

次に、ホフスタッターr点は、元の三角形△ABCの各頂点A, B, Cと、対応するホフスタッターr三角形の頂点A(r), B(r), C(r)を結んだ3つの直線AA(r), BB(r), CC(r)が一点で交わる（共点となる）ときに、その交点として定義されます。これらの直線は任意の実数rに対して常に共点となります。この共点がホフスタッターr点です。

ホフスタッターr点も、rの値に応じて様々な既知の幾何学的中心と一致することがあります。例えば、r=1/2のホフスタッター1/2点は内心と一致します。r=2の場合は外心、r=-1の場合は垂心となります。また、r=1/3のホフスタッター1/3点は第一モーリー・テイラー・マール心（X357）、r=2/3のホフスタッター2/3点は第二モーリー・テイラー・マール心（X358）として知られています。

ホフスタッターr点の三線座標は、元の三角形の角A, B, Cと実数rを用いて以下のような一般的な形で与えられます。

`(sin(rA)/sin(A-rA) : sin(rB)/sin(B-rB) : sin(rC)/sin(C-rC))`

ただし、rが0または1の場合、上の式に直接代入して座標を得ることはできません。ホフスタッター0点とホフスタッター1点は、それぞれrを0または1に極限まで近づけたときの点の位置として定義されます。極限計算によって得られるこれらの点の三線座標は以下のようになります。

ホフスタッター0点 (r→0の極限) の三線座標:

`(A/sinA : B/sinB : C/sinC)` または `(A/a : B/b : C/c)`

ホフスタッター1点 (r→1の極限) の三線座標:

`(sinA/A : sinB/B : sinC/C)` または `(a/A : b/B : c/C)`

ここで、a, b, cはそれぞれ辺BC, CA, ABの長さを表します。

ホフスタッター点の間にはいくつかの興味深い関係があります。ホフスタッターr点とホフスタッター1-r点は互いに等角共役な点です。さらに、rが0, 1, 2以外の整数の場合、ホフスタッターr点とホフスタッター2-r点は、元の三角形の外接円に対する反転によって移り合う関係にあることが知られています。これらの点集合は、三角形の幾何学における豊かな構造を示す例として研究されています。

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