ホワイトノイズ

ホワイトノイズとは

ホワイトノイズとは、パワースペクトルにおいて広い範囲でほぼ均一な強度を持つノイズのことを指します。これは、可視光の広い周波数成分を均等に含む光が白色に見えることに由来しています。音の分野では「白色雑音」とも呼ばれます。

ホワイトノイズの概念を理解するために、まずノイズの種類について考えてみましょう。ノイズには様々な種類がありますが、ホワイトノイズはその中でも特に特徴的な存在です。例えば、ピンクノイズは周波数が低くなるにつれて強度が大きくなるノイズで、「ザー」という音に聞こえることが多いです。これに対し、ホワイトノイズは「シャー」という音に近いと表現されます。

ホワイトノイズの特徴

ホワイトノイズの最も重要な特徴は、全ての周波数成分が同じ強度を持っているという点です。これは、自己相関関数がデルタ関数となることと等価です。統計学的に言えば、ホワイトノイズは定常独立なノイズであり、非常に不規則な性質を持っています。

ただし、理想的なホワイトノイズは理論上の概念であり、現実には存在しません。自己相関関数がデルタ関数となるような無限の要素を含むものは実現不可能だからです。しかし、実用上は、理想的なホワイトノイズに十分近いものをホワイトノイズとして扱います。

近年では、オーディオ機器などでパルス符号変調（PCM）が用いられることが増えていますが、この場合、ホワイトノイズは0付近からナイキスト[[周波数]]までの範囲でほぼ同じ強度を持ちます。

ホワイトノイズとガウスノイズ

ホワイトノイズはしばしばガウスノイズ（正規分布に従うノイズ）と混同されますが、これらは異なる概念です。白色という概念とガウス性という概念は独立しており、ホワイトノイズが必ずしもガウスノイズであるとは限りません。しかし、多くのモデルでは、ホワイトノイズとガウス性の両方を仮定することが一般的です。

この二つの特性を同時に満たす[ノイズ]]を「ホワイトガウスノイズ」または「白色ガウス雑[[音]]」と呼びます。ホワイトガウスノイズは、中心極限定理により実世界のノイズのよい近似として利用され、加法性ホワイトガウス[[ノイズ]として知られています。

ホワイトノイズの定義

ホワイトノイズは、以下の二つの条件を満たす信号 w(t) として定義されます。

1. 平均がゼロであること: `μ = E[w(t)] = 0`
2. 自己相関関数がデルタ関数に比例すること: `R(t1, t2) = E[w(t1)w(t2)] = σ²δ(t1 - t2)`

ここで、σ²はノイズの分散、δはディラックのデルタ関数を表します。これらの式は、ホワイトノイズの平均がゼロであり、自己相関が時間差ゼロのときにのみ有限の値を持つことを示しています。

また、パワースペクトルは自己相関関数のフーリエ変換として得られます。ホワイトノイズのパワースペクトルは以下のようになります。

`|W(ω)|² = σ²`

この式からわかるように、パワースペクトルは周波数ωに依存せず、全ての周波数で一定の値を持つため、「白色」と呼ばれるのです。

離散的な信号の場合、ホワイトノイズはベクトルwとして定義され、以下のようになります。

1. 平均がゼロであること: `μ = E[w] = 0`
2. 自己相関行列が対角行列であること: `R = E[ww^T] = σ²I`

ここで、Tは転置、Iは単位行列を表します。この定義は、各時間におけるノイズが独立であり、相互相関がないことを示しています。

なお、これまではホワイトノイズを実数として扱いましたが、複素数に対しても同様に定義できます。この場合、相関演算に複素共役の操作が含まれるため、定義がやや変化します。

ホワイトノイズの生成方法

実際には、正規乱数（ガウス分布に従う乱数）をホワイトノイズとして利用することが一般的です。この場合、生成されるノイズはガウス性も満たすため、ホワイトガウスノイズとなります。

Excelなどのツールを用いることで、簡単に正規乱数を生成し、ホワイトノイズの近似として使用できます。

まとめ

ホワイトノイズは、広い周波数範囲で均一な強度を持つノイズであり、信号処理や音響学など、様々な分野で重要な概念です。理想的なホワイトノイズは理論的な概念ですが、実用上は近似的なものが広く使われています。その特性を理解することで、より高度な信号処理やデータ分析が可能になります。

関連項目

独立成分分析
有色雑音

外部リンク

SimplyNoise.com （英語）
whitenoisemagic.com （英語）

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