平均場近似

平均場近似：多体問題をシンプルに解く近似手法

平均場近似とは、多数の粒子間の相互作用を考慮する多体問題を、より単純な一体問題に帰着させる近似手法です。複雑な多体問題を解析的に解くことは困難な場合が多いため、平均場近似は物理学、特に統計力学や物性物理学において重要な役割を果たします。

近似の考え方

平均場近似では、多数の粒子それぞれが他の全ての粒子から受ける相互作用を、平均的な効果として捉えます。個々の粒子の相互作用は無視し、代わりに平均的な「場」の中で粒子一つ一つが振舞うと仮定します。この平均的な場は、個々の粒子の挙動に影響され、また個々の粒子の挙動によって変化します。そのため、平均場を計算する方程式は自己無撞着（セルフコンシステント）な方程式となり、反復計算によって解を求めます。

歴史と応用例

平均場近似は、1907年のワイスによる強磁性理論で初めて用いられました。これは当時は分子場近似と呼ばれていましたが、現在では平均場近似の方が一般的です。その後、様々な分野で応用され、その有効性が示されてきました。代表的な例としては以下のものがあります。

強磁性体のワイス理論: 強磁性体の磁化を平均場近似を用いて説明する理論。キュリー温度（強磁性から常磁性への転移温度）を予測できるなど、強磁性現象を理解する上で非常に重要な役割を果たしました。
ブラッグ‐ウィリアムス近似: 二元合金における規則・不規則状態の転移を記述する近似手法。合金の組成や温度によって、原子が規則正しく配列した状態と不規則に配列した状態が転移する現象を説明します。
ハートリー近似（ハートリー‐フォック近似）: 多電子系の波動関数を、それぞれの電子の波動関数の積として近似する手法。電子間の相互作用を平均場として扱うことで、多電子系のシュレディンガー方程式を解くための計算を大幅に簡略化します。
バンド計算における一電子近似: 固体中の電子のエネルギー状態を計算するバンド計算において、電子間の相互作用を平均場として扱う近似。計算コストを削減しながら、固体の電子状態をある程度の精度で求めることができます。

平均場近似の限界

平均場近似は、粒子の相互作用が平均的な場として扱える場合に有効です。しかし、粒子のゆらぎ（平均からのずれ）が大きい場合には、平均場近似は精度が悪くなります。特に、

* 強相関電子系: 電子間の相互作用が非常に強い系では、電子間の相関を無視できないため、平均場近似は適用できません。

このような場合、より精密な計算手法が必要となります。

イジング模型の例

平均場近似の具体的な計算例として、イジング模型でのスピン系を考えます。最近接格子点間の相互作用のみを考慮すると、ハミルトニアンは以下のように表せます。

$H = -\sum_{⟨i,j⟩} JS_i S_j$

ここで、Jは交換相互作用のエネルギー、⟨i,j⟩は最近接格子点間の和を表します。jに関する和を平均化することで、有効磁場$H_i^{mag} = J \sum_j ⟨S_j⟩$ を導入し、ハミルトニアンを以下のように書き直すことができます。

$H = -\sum_i H_i^{mag} S_i$

平均場近似では$⟨S_i⟩ = ⟨S⟩$ と仮定し、自己無撞着方程式を解くことで平均磁化⟨S⟩を求めます。この方程式は、

$⟨S⟩ = \tanh(\frac{zJ⟨S⟩}{k_B T})$

となります。zは最近接格子点数、kBはボルツマン定数、Tは温度です。この方程式から、キュリー温度Tc = zJ/kB が求められます。Tc以上では⟨S⟩=0となり常磁性、Tc以下では⟨S⟩>0となり強磁性状態になります。

まとめ

平均場近似は、複雑な多体問題を簡略化して解析的に解くための強力な近似手法ですが、その適用範囲には限界があります。問題の性質を考慮し、適切な手法を選択する必要があります。平均場近似は、多様な物理現象を理解するための基礎的な概念であり、その原理と限界を理解することは重要です。

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