ポアンカレ群

ポアンカレ群について

ポアンカレ群（Poincaré group）は、ミンコフスキー空間における変換の集合であり、特に等長変換を構成する10次元の非コンパクトリー群です。この群は、物理学において特に重要であり、主に相対性理論の文脈で理解されることが多いです。

ポアンカレ変換

ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における特定の変換に該当し、内積が保存される性質を持つ等長変換と定義されます。これには、2つの主な要素—並進とローレンツ変換—が含まれています。

並進

並進は、空間内の位置を一定のベクトルだけ移動させる変換です。具体的には、座標$x^
u$から$a^
u$だけ足し合わせた新しい座標$x'^
u$を得ることができます。数式で表すと、次のようになります。

$$
x^
u o x'^
u = x^
u + a^
u
$$

ここで、$a^
u$は並進のためのパラメータです。これは、どの方向にどれだけ移動するかを定める重要な要素です。

ローレンツ変換

ローレンツ変換は、時間と空間の座標系を変換する方法です。これを用いることで、異なる慣性系間の物理現象を比較することが可能になります。ローレンツ変換は次のように表現されます。

$$
x^
u o x'^
u = oldsymbol{ ext{Λ}}^{
u}_{
ho} x^{
ho}
$$

$oldsymbol{ ext{Λ}}$はローレンツ変換の行列を示し、物理量の変換における重要な役割として機能します。

生成子

ポアンカレ群の生成子は、2種類に区別されます。並進の生成子は運動量を表し、ローレンツ変換の生成子は角運動量を表します。この生成子たちは、ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場）$oldsymbol{ ext{φ}}(x)$に対して作用します。

ポアンカレ代数

ポアンカレ代数はポアンカレ群のリー代数に関連し、特有の交換関係を満たします。この代数は、ポアンカレ群の構造を理解するための重要な役割を果たします。これらの代数的な性質は、物理的なシステムの対称性を探索する際に非常に有用です。

関連項目

ポアンカレ群は、物理学において多くの関連分野と結びつきがあります。例えば、ネーターの定理、ポアンカレ対称性の拡張、超対称性、共形変換など、これらは全てポアンカレ群と深く関連しており、物理学の基本的な原則を理解するために欠かせない知識となります。

ポアンカレ群は、物理学の理論的基盤に不可欠な役割を担っており、相対論的な現象を研究する際に極めて重要な概念であることは言うまでもありません。

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