マルコフ＝角谷の不動点定理

マルコフ＝角谷の不動点定理について

数学の分野において、マルコフ＝角谷の不動点定理は、局所凸位相ベクトル空間における非常に重要な結果を提供します。この定理は、アンドレー・マルコフ Jr.と角谷静夫の名にちなんで名付けられました。定理の内容は、コンパクトな凸部分集合に対する連続な自己アフィン写像の可換族が共通の不動点を持つというものです。

定理の概要

局所凸位相ベクトル空間を E、E のコンパクトな凸部分集合を C とし、C 内の連続な自己アフィン写像の可換族を S とします。このとき、これらの写像は C 内に共通の不動点を持つというのがこの定理の主張です。

不動点の存在を証明する過程

不動点の存在を示すためには、まず単一の自己アフィン写像に着目します。具体的には、C の元 x に対して次のように定義される列が考えられます。

$$
x(N) = rac{1}{N + 1}
otag \\ imes \\ \\sum_{n=0}^{N} T^n(x).
$$

この関数 x(N) は、N が十分大きくなるとコンパクト性により、C 内のある点 y に収束します。すなわち、

$$
x(N_i)
ightarrow y
otag
$$

という形で収束するサブネットが存在します。この y が不動点であることを示すためには、任意の E の双対空間の元 f に対して次の条件が満たされれば足ります。

$$
f(Ty) = f(y).
$$

この条件を満たすためには、C がコンパクトであるため、f はある正定数 M によって有界になります。このとき、次の不等式が成り立ちます。

$$
|f(T x(N)) - f(x(N))| = rac{1}{N + 1}|f(T^{N + 1} x) - f(x)| \\ \\ \\ \\ \\ \\leq rac{2M}{N + 1}.
$$

N を Ni とし、i が無限に近づくと、次の式が成り立ちます。

$$
f(Ty) = f(y).
$$

この結果から、y が不動点であることが示され、

$$
Ty = y.
$$

が成り立ちます。

複数の写像の場合の証明

次に、単一の自己アフィン写像 T に対する不動点の集合は、定理により空でないコンパクトな凸集合 C_T になることが示されます。その後、可換族 S 内の他の写像もそれに対して不変であるため、S の任意の有限部分集合についても同様の結果が成り立つことになります。すなわち、

$$
C^S = igcap_{T \\in S} C^T
$$

は空でないコンパクトかつ凸であることが導かれます。

結論

このように、マルコフ＝角谷の不動点定理は、数学の中で多くの応用があり、特に局所凸位相ベクトル空間における解析において重要な役割を果たしています。これにより、実際の問題解決に向けた理論的基盤が確立されています。

参考文献

• - Markov, A. (1936), "Quelques théorèmes sur les ensembles abéliens", Dokl. Akad. Nauk. SSSR 10: 311–314
• - Kakutani, S. (1938), "Two fixed point theorems concerning bicompact convex sets", Proc. Imp. Akad. Tokyo 14: 242–245
• - Reed, M.; Simon, B. (1980), Functional Analysis, Methods of Mathematical Physics, 1 (2nd revised ed.), Academic Press, p. 152, ISBN 0-12-585050-6

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