ミクロカノニカルアンサンブル

小正準集団について

概要

小正準集団（しょうせいじゅんしゅうだん）は、統計力学における重要な概念であり、特に孤立した系についての微視的状態を表現します。これは、エネルギーの保存を前提とし、系の状態がどのように確率的に分布しているのかを示すものです。この小正準集団が従う確率分布は小正準分布（ミクロカノニカル分布とも呼ばれます）と呼ばれます。

確率分布と定義

小正準集団の確率分布は、特定のエネルギー E を持つ微視的状態 ω に対して以下のように定義されます：

$$
p(
u) = \frac{1}{W(E)} \chi_{\Omega(E)}(
u)
$$

ここで、$E$は系の巨視的なエネルギー、$
u$は微視的状態を表します。また、$ ext{Ω(E)}$は、エネルギーがEにほぼ等しいような微視的状態の集合を意味しています。$ ext{χ}$は指示関数として働き、状態が集合に含まれるかどうかを示します。この定義により、微視的状態が全て等しい重み（等確率）で出現することが分かります。

状態数と規格化定数

確率分布に含まれる規格化定数$W(E)$は、エネルギーEに対して可能な微視的状態の数を示し、状態数とも呼ばれます。これは以下のように計算されます：

$$
W(E) = \sum_{
u} \chi_{\Omega(E)}(
u) = \sum_{
u \in \Omega(E)} 1
$$

粒子数保存の場合

化学反応や生成・消滅を考慮しない場合、粒子数が保存されることも重要です。この場合の集合は以下のようになります：

$$
\Omega(E,N) = \{
u; E-\delta E < E(
u) \leq E, N(
u) = N\}
$$

ここで、$N(
u)$は微視的状態における粒子数を示します。この際の確率分布と状態数は、以下のように表現されます：

$$
p(
u) = \frac{1}{W(E,N)} \chi_{\Omega(E,N)}(
u)
W(E,N) = \sum_{
u} \chi_{\Omega(E,N)}(
u) = \sum_{
u \in \Omega(E,N)} 1$$

熱力学との関係

系が微視的状態 $
u$ をとるとき、対応する熱力学的状態量は期待値 $O(E, N)$によって表され、次のように計算されます：

$$
O(E,N) = \langle O(
u) \rangle = \sum_{
u} O(
u)p(
u)
$$

熱力学解析で得られる状態数は、系の大きさが大きくなると指数関数的に増加します。ボルツマンの公式に従い、エントロピーは次のように定義されます：

$$
S(E,N) = k \ln W(E,N)
$$

ここで、$k$はボルツマン定数です。これにより、エネルギーと粒子数に基づく統計的性質が明らかになります。

まとめ

小正準集団は、エネルギー保存の原則と統計力学の基礎を結びつけ、孤立系の微視的状態を理解するための重要なフレームワークを提供します。これに関連して、グランドカノニカル分布やカノニカル分布などの他の統計集団とも密接に関連していることが理解されます。

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