ミンコフスキー・シュタイナーの公式

ミンコフスキー・シュタイナーの公式

ミンコフスキー・シュタイナーの公式は、数学の一分野である幾何学や測度論において、ユークリッド空間内の特定の図形（コンパクト集合）が持つ体積と表面積の間に存在する、解析的な関係を示す重要な公式です。この公式は、数学者のヘルマン・ミンコフスキーとヤコブ・シュタイナーにちなんで名付けられました。特に、従来の幾何学では扱いが難しかった、滑らかでない境界を持つ集合に対しても、「体積の変化率」として表面積を定義するという革新的な視点を提供します。

この公式の中心的なアイデアは、ある集合をわずかに「膨らませた」ときに体積がどれだけ増加するかを調べることで、その集合の表面積を測るというものです。具体的には、n次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ 内のコンパクトな集合 $A$ を考えます。集合 $A$ の体積をそのルベーグ測度 $\mu(A)$ で表します。次に、半径が非常に小さい $\delta$ である閉じた球体 $B_\delta$ を考えます。この球体 $B_\delta$ を使って集合 $A$ を「膨らませた」集合、すなわち $A$ と $B_\delta$ のミンコフスキー和 $A + B_\delta$ を構成します。ミンコフスキー和 $A + B_\delta$ は、集合 $A$ の全ての点から距離が $\delta$ 以内にある点全体からなる集合に相当します。

ミンコフスキー・シュタイナーの公式は、この膨らませた集合の体積 $\mu(A + B_\delta)$ と元の集合の体積 $\mu(A)$ の差、$\mu(A + B_\delta) - \mu(A)$ を考えます。この体積増加分を半径 $\delta$ で割った量 $\frac{\mu(A + B_\delta) - \mu(A)}{\delta}$ は、体積が $\delta$ に対してどれだけ変化するかを示す平均変化率とみなせます。公式では、この量が $\delta$ を限りなくゼロに近づけたときの下極限として定義される値を、集合 $A$ の境界 $\partial A$ の「表面積」$\lambda(\partial A)$ と定めます。

この方法で定義された表面積 $\lambda(\partial A)$ は、集合 $A$ が十分に「良い性質」を持つ、例えば滑らかな境界を持つ場合などにおいては、古典的な意味での $(n-1)$ 次元表面積と正確に一致することが知られています。非滑らかな集合など、より一般的な集合に対しても表面積の概念を拡張できる点が、この定義の強力さです。この対応関係については、幾何学的測度論の分野で深く研究されており、ヘルベルト・フェデラーの研究などがこの問題を解決しています。

特に、集合 $A$ が凸集合である場合、ミンコフスキー和 $A + B_\delta$ の体積 $\mu(A + B_\delta)$ は、$\delta$ に関する多項式として厳密に表現できます。この多項式展開はシュタイナーの公式とも関連しており、具体的には $\mu(A + B_\delta) = \mu(A) + \lambda(\partial A)\delta + \sum_{i=2}^{n-1} \lambda_i(A)\delta^i + \omega_n \delta^n$ の形をとります。ここで、$\lambda(\partial A)$ は上述の定義による表面積であり、多項式の $\delta$ の一次の項の係数として現れます。$\lambda_i(A)$ は集合の形状に関する量（Quermassintegralsなど）であり、$\omega_n$ はn次元単位球の体積です。この展開から、体積増加率の極限（凸集合の場合は下極限ではなく通常の極限）が表面積に他ならないことがより明確に理解できます。

ミンコフスキー・シュタイナーの公式、そして特その凸集合に関する拡張であるシュタイナーの公式は、幾何学における重要な不等式である等周不等式（同じ体積を持つ図形の中で、球体が最も表面積が小さいことを示すなど）の証明において、ブルン・ミンコフスキーの定理と共に中心的な役割を果たします。例えば、この公式を半径 $R$ の閉球体 $A = \overline{B_R}$ に適用すると、定義に基づいた計算から、その表面積が $n R^{n-1} \omega_n$ となることが導出されます。これは、よく知られたn次元球面の表面積の公式に一致しており、公式の正当性および応用可能性を示しています。

このように、ミンコフスキー・シュタイナーの公式は、体積と表面積という基本的な幾何学的量を結びつけ、特に複雑な形状を持つ集合に対しても表面積という概念に解析的な基礎を与える、数学において非常に有用で美しい成果と言えます。

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