メモ化

メモ化とは

メモ化（memorization）は、プログラムの最適化技法の一つで、特にサブルーチンの高速化に用いられます。関数やサブルーチンの実行結果を記憶しておき、同じ引数で再度呼び出された際に、再計算をせずに記憶された値を返すことで処理速度を向上させます。これは、特に再帰的な処理や計算コストの高い処理において有効です。

メモ化の基本

メモ化は、ドナルド・ミッキーによって1968年に作られた造語で、ラテン語の「memorandum（覚えておく）」に由来します。メモ化の核心は、以前の計算結果を引数とともに保持し、同じ引数が与えられた場合には、保存された結果を即座に利用することにあります。この技術は、参照透過性を持つ関数、つまり同じ引数に対して常に同じ結果を返す関数に適用可能です。

メモ化の仕組み

メモ化の実装には、通常、ルックアップテーブルや連想配列が用いられます。このテーブルには、関数の引数とそれに対応する計算結果が格納されます。重要な点として、メモ化では、テーブルの内容は必要に応じて動的に格納されます。これは、全ての計算結果を事前に用意しておくのではなく、必要になった時にのみ結果を記録する点で通常のテーブル参照とは異なります。

メモ化のコストとトレードオフ

メモ化は、計算時間を削減する代わりに、メモリ使用量を増加させるというトレードオフを伴います。つまり、実行速度を最適化するために、より多くの記憶領域を消費することになります。計算複雑性理論では、アルゴリズムの時間コストと領域コストの両方を考慮する必要があり、メモ化はそのバランスを取るための手法の一つと言えます。

メモ化の適用例：階乗計算

階乗計算を例にメモ化の効果を見てみましょう。

メモ化なしの階乗関数


function factorial (n) // n は非負整数
if n == 0 then
return 1
else
return factorial(n - 1) n // 再帰呼び出し
end if
end function


この関数は、`n` が大きくなるにつれて再帰呼び出しの回数が増え、計算時間が増加します。各再帰呼び出しには、スタックフレームの設定、比較、減算、乗算などのコストが発生します。

メモ化ありの階乗関数


function factorial (n) // n は非負整数
if n == 0 then
return 1
else if (テーブルに n の階乗が格納されている) then
return (テーブルに格納された n の階乗の値)
else
x = factorial(n - 1) n // 再帰呼び出し
x を n の階乗の値としてテーブルに格納する
return x
end if
end function


メモ化されたバージョンでは、計算済みの結果はテーブルに保存され、同じ引数で再度呼び出された場合には、テーブルから結果を直接取得します。これにより、再計算のコストを削減し、全体の実行時間を短縮します。

自動メモ化

メモ化は通常、プログラマが関数内に明示的に実装しますが、参照透過性のある関数に対しては、外部から自動的にメモ化することも可能です。関数が第一級オブジェクトであるプログラミング言語では、関数呼び出しの度に結果を記憶し、次回からはその値を返すことで自動メモ化を実装できます。


function memoized-call (F） // F は関数オブジェクト
if (F には対応する配列 values がない) then
allocate an associative array called values;
attach values to F;
end if;

if F.values[arguments] is empty then
F.values[arguments] = F(arguments);
end if;

return F.values[arguments];
end function


自動メモ化では、関数を呼び出す際にこの `memoized-call` 関数を介して呼び出すことで、結果が自動的にキャッシュされます。

メモ化の応用：構文解析

メモ化は構文解析の分野でも活用されています。再帰下降[[構文解析]]にメモ化を適用することで、バックトラッキングを伴う解析の効率を向上させることができます。具体的には、解析済みの部分木の情報を記憶しておくことで、再解析のコストを削減します。

例：形式文法

以下のような形式文法を考えてみましょう。


S → (A c) | (B d)
A → X (a|b)
B → X b
X → x [X]


この文法では、`xxxxxbd` のような文字列が認識されます。メモ化なしでこの文字列を解析する場合、`X` の適用が何度も繰り返される可能性があります。しかし、メモ化を適用することで、`X` の適用結果を記憶し、再利用することで、解析速度を向上させることができます。

メモ化による構文解析の高速化

メモ化された構文解析器では、特定のルール（生成規則）と入力位置に対して、既に解析済みの結果（受理した入力の長さや生成された部分木など）を記憶します。これにより、同じルールを同じ入力位置に対して再解析する必要がなくなり、バックトラッキングによる無駄な計算を大幅に削減できます。

結論

メモ化は、プログラムの実行速度を向上させるための強力な最適化手法です。特に、同じ計算を何度も繰り返す場合に有効であり、再帰的な処理や複雑な構文解析において重要な役割を果たします。時間と空間のトレードオフを考慮し、適切にメモ化を適用することで、効率の良いプログラム開発が可能になります。

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