モチーフ (数学)

モチーフ (Motive)

代数幾何学において、『モチーフ』（motive、またはフランス語でmotif）とは、代数多様体が持つ本質的な構造や情報を抽象的に捉え、研究するための基本的な概念です。この理論は、多様体の幾何学的性質や代数的性質を統一的に理解し、異なるコホモロジー論を結びつける普遍的な枠組みを提供することを目指して生まれました。

背景と目的

代数多様体は一般に非常に複雑な構造をしており、直接的な研究が困難な場合があります。そこで、数学では多様体をより扱いやすい『線型な』対象に変換して調べる手法が古くから用いられてきました。この手法の代表例がコホモロジー論です。しかし、ベッチコホモロジー、ド・ラームコホモロジー、l-進エタールコホモロジーなど、多様体の異なる側面を捉える様々なコホモロジー論が存在し、それぞれが異なる定義体や構造を持ちます。

モチーフ理論は、これらの多様なコホモロジー論を統一的に扱うための『普遍的なコホモロジー論』を見つけようという、アレクサンドル・グロタンディークによる壮大な試みから始まりました。モチーフは、これらの個別のコホモロジー論が捉える情報のすべてを内包するような、より基本的な『構成要素』とみなすことができます。

例えば、射影直線が『点』と『直線』の集合論的な和として捉えられるように、モチーフの言葉では多様体をより単純な構成要素の『和』として表現できるという期待があります。このような考え方は、多くのコホモロジー論において実際に成り立つことが知られています。

ピュアモチーフ

モチーフ理論は大きく『ピュアモチーフ』と『混合モチーフ』に分けられます。ピュアモチーフはある程度定式化されており、特に『周モチーフ』の圏は、以下のような段階を経て構成されます。

1. 対応の圏 (Corr): 滑らかな射影多様体を対象とし、多様体間の『対応』を射とする圏を考えます。対応は、通常の写像のグラフを一般化した概念です。
2. 有効周モチーフの圏 (Chow^eff): Corrの対象に対し、べき等な対応（自分自身と合成しても変わらない対応）を付加することで得られる圏です。これにより、多様体そのものだけでなく、その『部分』に対応するモチーフを扱うことができます。
3. ピュア周モチーフの圏 (Chow): 有効周モチーフの圏に、テイトモチーフと呼ばれる特別なモチーフの『逆』を形式的に付け加えることで得られます。これにより、モチーフに『次数』や『ウェイト』といった概念を導入できます。

この構成において、ピュアモチーフは、滑らかな射影多様体 X、その上のべき等対応 p、そして整数 n の組 (X, p, n) として定義されることが一般的です。モチーフ間の射は、特定の次数を持つ対応によって定まります。

モチーフの種類

周モチーフは、多様体上の『サイクル』間の有理同値という関係に基づいて定義されますが、サイクル上の他の『適切な同値関係』を用いることで、異なる種類のピュアモチーフの圏を定義することも可能です。代表的な同値関係には、有理同値、代数的同値、ホモロジカル同値、数値同値などがあり、これらは強いものから弱いものまで階層をなしています。

混合モチーフ

『混合モチーフ』は、滑らかであるか射影的であるかに関わらず、全ての代数多様体に対してモチーフを与えることを目指した、より一般性の高い概念です。その存在や性質については現在も予想の段階にありますが、混合モチーフの圏はアーベル圏となり、モチーヴィックコホモロジーがそのExt群として定義されるはずだと考えられています。

混合モチーフそのもののアーベル圏はまだ構成されていませんが、その『導来圏』にあたる圏DM(k)が、ウラジーミル・ヴォエヴォドスキーによって構成され、大きな進展がありました。DM(k)は多くの期待される性質を持ちますが、整数係数での混合モチーヴィックなt構造（アーベル圏を復元するための重要な構造）は存在しないことも示されています。ヴォエヴォドスキーは、このモチーフ理論のアイデア、特に安定ホモトピー論との関連を用いて、数論における重要な未解決問題であったミルナー予想やBloch-Kato予想を解決し、フィールズ賞を受賞しました。

関連する予想

モチーフ理論は、代数幾何学や数論におけるいくつかの重要な予想と深く関連しています。

標準予想: ピュアモチーフの性質に関わる予想で、ヴェイユコホモロジー論と代数的サイクルの関係を記述します。この予想が成り立つと仮定することで、ヴェイユ予想の証明への示唆が得られるなど、モチーフ理論の有効性が示されました。
ホッジ予想、テイト予想: これらの予想も、モチーフの言葉で再定式化することができます。ホッジ予想は複素多様体のモチーフの『ホッジ実現』という関手に関わり、テイト予想は有限体上の多様体のモチーフの『ℓ-進実現』という関手に関わる予想として捉えられます。

淡中定式化とモチーヴィックガロア群

別の視点として、淡中圏の理論を用いてモチーフの圏から代数群を構成するアプローチがあります。特定の条件下で、モチーフの圏が代数群の表現の圏と同値になることが示唆されており、この代数群は『モチーヴィックガロア群』と呼ばれます。これは、ホッジ予想やテイト予想に見られる『不変式論』的な側面に光を当てる試みでもあります。

まとめ

モチーフ理論は、代数多様体の本質を捉え、多様なコホモロジー論や関連する予想を統一的に理解するための強力な枠組みを提供します。特に混合モチーフの理論は発展途上であり、その完全な定義や性質の解明は、現代数学における重要な課題の一つとなっています。

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