モナド (超準解析)

モナド (超準解析)

超準解析の分野において、「モナド」（monad）あるいは「ハロー」（halo、フランス語圏で一般的）と呼ばれる概念は、特定の超準的な対象に「無限小」の距離で限りなく近い点全体の集合を指します。この概念は、標準的な数学における極限や近傍といった概念を、超準的な数の世界の言葉で表現するための基礎となります。モナドの双対的な概念としては「銀河」（galaxy）があります。

一般的な定義

モナドはより一般的に、内的集合 `X` と、その上の（外的な場合も含む）フィルター `F` を用いて定義されます。このとき、フィルター `F` のモナド `μ(F)` は、`F` に属する全ての集合の共通部分として定められます。

`μ(F) = ∩ { A | A ∈ F }`

ここで用いられる「ハロー」という名称は、点の周囲に広がるごく小さな、目に見えないほど近い領域、すなわち暈（かさ）のイメージから来ています。モナドを表す記号としては、`μ` のほかに `mon` や `monad` なども使われます。

超準的な対象からなる集合が、このようなモナドの形で表現できるとき、その集合は「モナディック」（monadic）、「ハリック」（halic）、あるいは `Π₁ˢᵗ` と呼ばれることがあります。

具体的な例

モナドの概念は、超準解析における様々な構造に対して具体的に適用されます。いくつかの重要な例を挙げます。

超実数におけるモナド

超実数体 `R` において、超実数 `x` のモナド `μ(x)` は、`x` との差が無限小であるような全ての超実数 `y` の集合として定義されます。

`μ(x) = { y ∈ R | x - y は無限小である }`

無限小とは、絶対値が任意の正の標準実数よりも小さい超実数のことです。もし超実数 `x` が有限であるならば、そのモナド `μ(x)` はちょうど一つだけ標準実数を含みます。この唯一の標準実数を `x` の「標準部分」（standard part）と呼び、`st(x)` や `°x` のように表記します。

位相空間におけるモナド

位相空間 `X` の標準的な点 `x` に対するモナド `μ(x)` は、`x` のあらゆる近傍 `U` を超準化した集合 `U` の共通部分として定義されます。

`μ(x) = ∩ { U | U は x の近傍である }`

ここで `U` は、標準的な集合 `U` の超準的な拡張です。超準的な空間 `X` の点が、ある標準点 `x` のモナド `μ(x)` に含まれるとき、その点は「近標準的」（nearstandard）であると言われます。

一様空間におけるモナド

一様空間 `X` において、モナドは一様性 `U`（これは直積空間 `X×X` 上のフィルターです）のモナドとして得られる同値関係 `≈` を指す場合があります。また、超準空間 `X` の点 `x` のモナドは、この同値関係 `≈` に関する `x` の同値類として定義されます。この一様空間における定義は、超実数や位相空間におけるモナドの定義と整合性を持っています。

このように、モナドは超準解析において、対象の「無限小の近傍」を捉えるための基本的なツールとして機能します。超準解析の主要な概念である無限小と密接に関連しており、関数の連続性や微分可能性などを超準的な言葉で表現する際に重要な役割を果たします。

関連概念

超準解析
* 無限小

この定義と例は、超準解析の文献に見られる標準的な内容に基づいています。

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