モーダストレンス

モーダストレンス（Modus Tollens）とは

モーダストレンス（Modus tollens）は、論理学における基本的な推論規則の一つで、特に間接証明や対偶による証明の根幹をなすものです。ラテン語で「否定することによって肯定する様式」を意味し、後件否定とも呼ばれます。この推論形式は妥当であり、後件肯定や前件否定といった妥当でない推論形式とは区別されます。

モーダストレンスの形式

モーダストレンスは、以下の形式で表されます。

1. 「PならばQである」という前提
2. 「Qではない」という前提
3. 結論：「したがってPではない」

この形式を論理記号で表すと、以下のようになります。

((P → Q) ∧ ¬Q) ⊢ ¬P

ここで、「→」は含意、「∧」は論理積、「¬」は否定、「⊢」は論理的帰結を意味します。

集合論の形式では、次のようになります。

P ⊆ Q
x ∉ Q
∴ x ∉ P

これは、「PはQの部分集合であり、xがQに属さないならば、xはPに属さない」ということを示しています。

自然演繹の記法では、以下のように表されます。

⊢ P → Q ⊢ ¬Q / ⊢ ¬P

また、日常的な言葉で表現すると、次のようになります。

「もしPならばQである。
Qではない。
従って、Pではない。」

モーダストレンスの解説

モーダストレンスの推論は、2つの前提から結論を導きます。
1つ目の前提は、「PならばQである」という条件文です。これは、Pが真であるならば、必ずQも真であるという関係を示します。2つ目の前提は、「Qではない」というQの否定です。これらの前提から、Pが真であると仮定すると、Qも真でなければなりませんが、2つ目の前提がQの否定であるため、矛盾が生じます。したがって、Pは真ではあり得ない、すなわちPは偽であるという結論に至ります。

例を挙げて説明しましょう。

例1:
前提1：ここに火があるなら、ここには酸素がある。
前提2：ここには酸素がない。
結論：したがって、ここには火がない。

例2:
前提1：リジーが殺人者なら、彼女は斧を持っている。
前提2：リジーは斧を持っていない。
結論：したがって、リジーは殺人者ではない。

これらの例では、前提が真であると仮定すると、結論も必ず真となります。ただし、前提が真でない場合、たとえ推論形式が妥当であっても結論が真となるとは限りません。
例えば、リジーの例で言えば、殺人者が必ずしも斧を所有しているとは限らないため、最初の前提が偽である可能性もあります。この場合、たとえリジーが斧を持っていなくても、彼女が殺人者である可能性は否定できません。

モーダスポネンスとの関係

モーダストレンスは、条件文の対偶をとることでモーダスポネンスに変換できます。
モーダスポネンスは、「PならばQであり、Pである。したがってQである」という形式の推論です。

例えば、「PならばQである」という前提の対偶は「QでないならばPでない」となります。したがって、モーダストレンスは、以下のようにモーダスポネンスに変換できます。

1. PならばQである（前提-含意）
2. QでないならばPでない（その対偶）
3. Qでない（前提）
4. したがって、Pでない（モーダスポネンスによる帰結）

同様に、モーダスポネンスも対偶を使ってモーダストレンスに変換可能です。

関連項目

モーダスポネンス：「ある人にとってのモーダスポネンスは、別の人にとってはモーダストレンスである」(Dretske 1995)
後件肯定
前件否定
反証可能性

参考文献

前田なお『本当の声を求めて　野蛮な常識を疑え』青山ライフ出版（SIBAA BOOKS）2004年。ISBN 9784434344435

外部リンク

mathworld.wolfram.com: Modus Tollens

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