モーメント (確率論)

モーメントの定義と性質

モーメントとは、確率論や統計学において、確率変数が持つ特性値の一つであり、確率変数の値のべき乗に対する期待値として定義されます。特に、確率変数 X を用いて、α を任意の定数とした場合、n 次モーメントは次のように表されます。

$$
\langle (X-\alpha)^n \rangle, \quad n=1,2,…
$$

ここで、⟨…⟩ は期待値を計算する操作を示します。

離散型と連続型のモーメント

モーメントの計算は、確率変数 X が離散型か連続型かによって異なります。

離散型の場合

離散型確率変数における n 次モーメントは、次の式で計算されます。

$$
\langle (X-\alpha)^n \rangle = \sum_{i=1}^{\infty}(x_i-\alpha)^n \Pr(X=x_i)
$$

ここで、x1, x2, ... は確率変数 X の取りうる値であり、Pr(X=xi) はその確率を示します。

連続型の場合

連続型確率変数においては、以下のように定義されます。

$$
\langle (X-\alpha)^n \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}(x-\alpha)^n p(x)dx
$$

ここで、p(x) は確率密度関数を表します。

モーメントの特別なケースとして、α = 0 のとき、モーメントは次のように記載されます。

$$
m_n=\langle X^n \rangle, \quad n=1,2,…
$$

期待値と分散との関係

モーメントの中でも、1 次のモーメント m1 は期待値 μ に等しく、2 次のモーメント m2 は分散 σ²の算出に利用されます。具体的には、次のように表されます。

$$
μ = m_1\
σ^2 = m_2 - m_1^2
$$

このように、モーメントを用いることで、期待値や分散が明示的に計算できることがわかります。

また、n 次の中心モーメントとして、モーメントの計算は以下のように定義されます。

$$
μ_n = \langle (X - m_1)^n \rangle, \quad n=1,2,…
$$

特に、2 次の中心モーメント μ2 は分散と一致します。

モーメントの存在について

確率分布が一般的である場合、モーメントは必ずしも有限な値として存在するわけではありません。たとえば、コーシー分布においては、すべてのモーメントが無限大に発散します。

積率母関数と特性関数

確率変数 X の積率母関数 M(ξ) もモーメントを考える上で重要です。積率母関数は次のように定義されます。

$$
M(ξ) = \langle e^{ξX} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ξx} p(x)dx
$$

その級数表示では、モーメントは次のように表現されます。

$$
M(ξ) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\langle X^n \rangle}{n!} ξ^n
$$

一方、特性関数 Φ(ξ) もモーメントを導出する方法の一つです。特性関数は次のように表されます。

$$
Φ(ξ) = \langle e^{iξX} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{iξx} p(x)dx
$$

キュムラントとの関係

モーメントはキュムラントとも密接な関係があります。n 次のキュムラントは n 次のモーメントを用いて以下のように表すことができます。

$$
c_1 = m_1\
c_2 = m_2 - m_1^2\
c_3 = m_3 - 3m_1m_2 + 2m_1^3
$$

このように、モーメントとキュムラントの間の関係を通じて、データの特性をより深く理解することが可能となります。

例：ポアソン分布と正規分布

ポアソン分布や正規分布におけるモーメントを計算することで、その特性を把握することができます。ポアソン分布の場合、その確率質量関数は以下のように表され、モーメントも特定の形で表現されます。

$$
P(x=k) = \frac{λ^k e^{-λ}}{k!}
$$

さらに、正規分布においては、中心モーメントは奇数の場合に0、偶数の場合に0でない値を取ることがわかります。

このように、モーメントについての知識は、確率論と統計学の理解に不可欠な要素です。

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