ヤコビ恒等式

ヤコビ恒等式について

ヤコビ恒等式とは、二項演算に関連する特性の一つであり、ドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの名前に由来します。1862年にヤコビは、自身の論文でポアソン括弧に関するこの恒等式を初めて導き出しました。この恒等式は、特定の集合における二項演算に対する条件を示しています。

定義

集合 $S$ に二項演算 $$ と可換で単位元 $0$ を持つ演算 $+$ が定義されている場合、$ (S, +, ) $ がヤコビ恒等式を満たすとは、次の等式が成り立つことを指します:

$$
a (b c) + b (c a) + c (a b) = 0 orall a, b, c ext{ ただし } a, b, c ext{ は } S ext{ の元}
$$

この式は、集合 $S$ の任意の元 $a, b, c$ に対して成り立つ必要があります。言い換えると、この条件が満たされていれば、集合はヤコビ恒等式を保持していると言えます。

また、$S$ が $+$ によって加法群の構造を持つ場合、ねじれ元を持たない状況を考えると、$S$ の元は $$ に関して冪零であることが分かります。これは、元 $a, b, c$ が同一である場合、恒等式は直ちに自明な形になります。

ヤコビ恒等式の解釈

加法群の構造を持つ集合 $S$ について考えた際、ヤコビ恒等式は次のように表現できます:

$$
x (b c) = -c (x b) - b (c x)
$$

この式の左辺は、$x$ に対する $b c$ の随伴作用として考えることができ、右辺は $b$ と $c$ の作用を逐次的に行った結果と解釈できます。このように、ヤコビ恒等式は二項演算者の相互作用を明示する役割を果たしています。

具体例

三次元ベクトルにおける外積

三次元ベクトル空間における外積（クロス積）は、ヤコビ恒等式を満たします。具体的には、次のような式が成立します:

$$
oldsymbol{a} imes (oldsymbol{b} imes oldsymbol{c}) + oldsymbol{b} imes (oldsymbol{c} imes oldsymbol{a}) + oldsymbol{c} imes (oldsymbol{a} imes oldsymbol{b}) = oldsymbol{0}
$$

リー環

リー環における括弧積もヤコビ恒等式を満たします。これも、以下のように書けます:

$$
[[X,Y],Z] + [[Z,X],Y] + [[Y,Z],X] = 0
$$

この表現は、環上の微分におけるライプニッツ則とも関連しており、代数的な性質を示しています。

ポアソン括弧

解析力学において用いられるポアソン括弧もまた、ヤコビ恒等式に従います。次のような式が存在します:

$$
egin{align*} ext{{}} \{f,g}\{h} + \{h,f\}g + \{g,h\}f = 0
ext{{}} \\ ext{{}} \\ ext{{}} \\ ext{{}} \\ ext{{}} \\ ext{{}} ext{を用いることで, 解析力学における運動方程式の整理が可能になります。}
$$

量子力学における交換子

量子力学では、交換子もヤコビ恒等式を満たしており、次の形で表現できます:

$$
[[A,B],C] + [[B,C],A] + [[C,A],B] = 0
$$

これにより、量子力学の多くの理論的結果が促進されています。

結論

ヤコビ恒等式は多くの数学の分野で中心的な役割を果たしており、その適用範囲は非常に広範です。そのため、数学と物理のさまざまな分野における理論的枠組みを理解する上で重要な概念となっています。

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