ユニタリ表現

ユニタリ表現とその応用

数学の分野において、群 G のユニタリ表現は特に重要な概念です。これは、複素ヒルベルト空間 V における G の線型表現であり、群の各元 g に対して対応する作用素 π(g) がユニタリであることを求められます。この理論は、群が局所コンパクトなハウスドルフ位相群である場合に特に発展しており、表現が強連続であることが前提です。

ユニタリ表現は、1920年代以降、量子力学の分野で広く応用されてきました。その中で、ヘルマン・ワイルの著書「Gruppentheorie und Quantenmechanik」が与えた影響は大きく、一般的な群 G に対するユニタリ表現の理論を確立したジョージ・マッキーなどの先駆者たちの貢献が重要です。

調和解析との関係

このユニタリ表現の理論は、調和解析とも密接に結びついています。具体的には、もし群 G がアーベル群ならば、その表現論の全容はポントリャーギン双対性によって示されます。また、一般的に、G の既約ユニタリ表現のユニタリ同値類はユニタリ双対と呼ばれ、これが群 C* 環の構成と関連しています。結果として得られるユニタリ双対は位相空間を形成しており、特に G が可換群またはコンパクト群場合には有力な理論が成立します。

例えば、コンパクト群のケースでは、ピーター・ワイルの定理がこの理論を確立します。その際のユニタリ双対は離散空間であり、測度は各点での次数に相当するという興味深い性質を持っています。

定義と性質

ユニタリ表現の定義においては、G を位相群、H をヒルベルト空間とします。このとき、G から H のユニタリ群への群準同型 π が存在し、これは g ↦ π(g)ξ としてノルム連続関数を満たす必要があります。リー群の場合、このヒルベルト空間にも滑らかな構造が求められ、ベクトル ξ が滑らかであるとは、写像 g ↦ π(g)ξ が滑らかであることを意味します。このため、滑らかなベクトルは稠密な部分空間を形成し、カバーされることがわかります。

さらに、2つのユニタリ表現 π1: G → U(H1) と π2: G → U(H2) がユニタリ同値であるためには、あるユニタリ変換 A: H1 → H2 が存在し、全ての g ∈ G に対して、A∘ π1(g) = π2(g)∘ A が成立すればよいのです。この変換 A は、表現に対する絡作用素と呼ばれます。

完全可約性

ユニタリ表現は完全可約であるという基本的な特性も持ちます。すなわち、任意の閉不変部分空間に対して、その直交補空間も再び閉不変部分空間であります。この性質は、有限次元のユニタリ表現が既約表現の直和として表現できることを示しています。

また、ユニタリ化可能な表現を考慮することで、より扱いやすい状況を作り出しています。特に、コンパクト群に対する適切なヒルベルト空間の平均を取る手法を用いることで、様々な定理の自然な証明が得られます。

ユニタリ双対問題

さらに、一般的に非コンパクト群に対して、どの表現がユニタリ化可能かを特定することは難しい問題であり、数学において解決されていない重要な課題の一つです。特に、すべての実簡約リー群の既約ユニタリ表現を有効に分類すること、すなわちユニタリ双対の記述は、依然として解決されていない多くの問題が伴います。すべての既約ユニタリ表現が許容的であり、その許容表現がラングランズ分類によって提供されることは興味深いポイントです。ただし、二次形式が正定値であるかどうかを特定するのが一般的に難しいという課題が残ります。

多くの簡約リー群に対して、この問題は解決されていることは注目に値します。たとえば、SL2(R)やローレンツ群の表現論に関する研究が挙げられます。これらの研究は、ユニタリ表現の理解を深め、数学的な進展に寄与しています。

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