コンパクト群

コンパクト群について

数学におけるコンパクト群は、その位相がコンパクトである位相群の一つであり、離散位相を含む有限群の自然な一般化です。コンパクト群は多くの特性を持ち、特に群作用や表現論において良く理解された理論が進展しています。この記述では、コンパクト群の基本的な定義や例、分類、そして関連する理論について詳しく説明します。

コンパクトリー群

リー群は位相群の中でも特に優れたクラスを形成し、コンパクトリー群はその中で特に発展した理論を持っています。コンパクトリー群の代表的な例としては、円周群 T、トーラス群 Tn、直交群 O(n)、特殊直交群 SO(n)、ユニタリ群 U(n)、特殊ユニタリ群 SU(n)、さらにシンプレクティック群 Sp(n)、および例外型リー群 G2、F4、E6、E7、E8 のコンパクト形が挙げられます。

コンパクトリー群の分類定理によれば、これらの例が全てのコンパクトリー群の本質を表しており、有限拡大や有限被覆に関連する区別を除くことで、理論を整理する助けとなります。

分類

任意のコンパクトリー群 G に対して、まず単位元成分 G0 を取り出すことができます。G0 は連結であり、商群 G/G0 は連結成分の群 π0(G) に相当します。G がコンパクトであるため、π0(G) は有限である必要があります。この関係から、次の短完全列が得られます:

1 → G0 → G → π0(G) → 1

全てのコンパクト連結リー群 G0 はまた有限被覆を持つことが知られています。無限アーベル群の部分群の存在から、これらはトーラスとコンパクト連結単連結リー群 K の積として表されます:

\[ \tilde{G_{0}} \cong \mathbb{T}^{m} \times K. \]

最終的に、コンパクト連結単連結リー群 K は、より基礎的な単純リー群 Ki の積に分解されることも示されており、これらは特定のリー群のクラスに属します。

さらなる例

リー群に当たらない群の中には、p 進整数から成る加法群 Zp や、それと関連する群が含まれます。任意の射有限群はコンパクト群であり、これはガロワ群がコンパクト群であることを含意し、代数拡大の理論にとって基本的な事実です。ポントリャーギン双対性により、可換コンパクト群の数多くの例が与えられます。これらの群は可換離散群との双対性を備えています。

ハール測度

コンパクト群はすべてハール測度を有し、この測度は群の元による左右両方の移動に対して不変です。この特性から、ハール測度は多くの計算において利用されます。特に、直交群など一部の群においては、そのハール測度の計算が容易であり、数論において重要な役割を果たします。

表現論

コンパクト群の表現論は、ピーター・ワイルの定理によって基盤が築かれています。彼の研究により、特にコンパクト連結リー群の指標理論が発展し、ワイルの指標公式は20世紀の数学において重要な成果の一つとなりました。さらに、カルタンの定理を基にした理論により、コンパクト群 G の表現がユニタリ群の閉部分群として特徴付けられることも示されています。

双対性と非コンパクト群への影響

コンパクト群の表現論から非コンパクト群を復元する仕組みは、特に淡中・クライン双対性の文脈で考察されています。コンパクト群論は、より一般的な半単純リー群の表現論に多大な影響を与え、その中には重要な楽器が含まれています。

まとめ

コンパクト群は、位相群の中でも特に重要な役割を果たしており、様々な分野でその性質が探求されています。表現論やハール測度を通じて、数学のさまざまな理論と関連付けられ、深い理解が進んでいます。

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