ラグランジュの定理 (群論)

ラグランジュの定理

群論におけるラグランジュの定理は、群 G における部分群 H の性質に関する重要な結果です。この定理により、群 G の位数とその部分群 H の位数に明確な関係が存在することが示されます。

定義

ラグランジュの定理によれば、有限な群 G の部分群 H の位数（要素の数）を |H| とし、群 G の位数を |G| とすると、次の等式が成り立ちます。



ここで、[G : H] は群 G の左剰余類の数を表し、全ての左剰余類の集合 G/H の要素数を示しています。

同値関係と同値類

部分群 H に対して、群 G の要素 x, y に対し、x と y が同値とされるのは、x = yh となる部分群 H の要素 h が存在する場合です。この関係によって、G の要素を同値類に分類し、各同値類は部分群 H の左剰余類として表現されます。各要素の同値類は aH の形で表され、これにより G の構造を深く理解できます。

同型写像

さらに、部分群 H から同値類 aH への写像を考えると、十分な条件を満たすことで、全単射であることが証明されます。この特性により、異なる同値類間の構造が同型であることが示され、各同値類の要素数が同じであることが確認できます。

群と部分群の性質

ラグランジュの定理が実際に重要になるのは、群 G の構造の理解においてです。たとえば、G が有限である場合、その任意の元 g によって生成される巡回群は G の部分群です。そのため、巡回群の位数は元の群 G の位数を割り切る性質を持ちます。これにより、特定の群の元が持つ性質を利用して、新たな結論を導き出すことができます。

応用例

ラグランジュの定理には多くの応用があります。たとえば、任意の群の元が生成する部分群の位数が、母群の位数で割り切れるため、より深い数学的議論や証明の基礎になります。また、有限群の位数が素数の場合、その性質を利用して更なる結論を引き出すことも可能です。

拡張と逆

ラグランジュの定理は、部分群の間に成り立つ指数の等式に拡張されることもあり、一般的に群の異なる部分群の間の関係を強調します。また、位数 n の有限群に対する部分群の存在についての逆命題も考察され、実際には一般に成立しないことが示されています。

歴史

ラグランジュの定理は、数学的な歴史の中で最初の群論の定理として登場しました。代数方程式の解法に関連し、多項式の置換の理論等から証明されたこの定理は、現在も群の一般的な性質に適用されています。

このように、ラグランジュの定理は群論の基礎を成し、群の構造に関する理解を深めるための強力な道具となります。

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