ランダムウォーク

ランダムウォークとは

ランダムウォーク（英語: random walk）は、「次に進む方向や距離が、確率的に無作為に決定される」という性質を持つ運動や過程を指します。日本語では「酔歩（すいほ）」や「乱歩（らんぽ）」とも呼ばれ、不規則な動きからその名が付きました。グラフなどに軌跡を描くと、一見すると予測不能な、デタラメな動きに見えますが、このような性質を持つ現象は自然界や社会の中に多く存在します。

ランダムウォークは、単なる数学的な概念に留まらず、物理学（統計力学や量子力学）、数理ファイナンス、生態学など、様々な分野で不規則な現象を理解し、モデル化するための基本的なツールとして非常に重要です。物理学のブラウン運動と共に、こうした確率的なプロセスを扱う上で中心的な役割を果たします。

数学的モデルと例

ランダムウォークを数学的に定義する場合、これは独立かつ同一の確率分布に従う確率変数の累積和として表されます。より具体的には、各ステップでの「移動量」や「変化」を表す確率変数を $X_1, X_2, \dots$ とし、これらが互いに独立で同じ性質を持つとします。初期位置を例えば0とすると、時刻 $n$ における位置 $S_n$ は、$S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ という形で定義されます。この $S_n$ がランダムウォークの位置系列です。この定義は、1次元直線上の動きから、2次元平面上、あるいはそれ以上の高次元空間上の動きまで適用できます。

特に単純なケースとして、「単純ランダムウォーク」があります。これは、例えば格子上を動き、各ステップで隣接するどの方向へ移動するかを等しい確率で選ぶようなモデルです。1次元なら右か左にそれぞれ確率1/2で動く、2次元なら上下左右にそれぞれ確率1/4で動く、といったモデルです。

最も分かりやすい例は、この1次元単純ランダムウォーク、つまり数直線上でのコイントスです。表なら右へ1、裏なら左へ1移動を繰り返します。多数回試行後の点（粒子）の位置の分布は、中心極限定理によって正規分布（ガウス分布）に近づくことが知られています。これは、平均的な位置は出発点の近くに留まりやすいという直感を支持するように思えます。

しかし、この例でも直感に反する興味深い性質があります。例えば、「粒子が観測時間のうち、正の領域にいた時間の割合」を考えると、両極端（ほとんどの時間正にいるか、ほとんどの時間負にいるか）に偏る可能性が、真ん中（正と負に半々ずついる）よりもはるかに高いという性質を持ちます。これは「逆正弦法則」として知られています。

主要な性質とブラウン運動との関係

ランダムウォークの次元によって、その基本的な性質が大きく異なります。特に重要なのは「再帰性」と呼ばれる性質です。これは、出発点から始まったランダムウォークが、再び出発点に戻ってくる確率が1である（必ず戻ってくる）という性質です。1次元および2次元の単純ランダムウォークは再帰的であることが証明されています。一方、3次元以上の単純ランダムウォークは非再帰的であり、出発点から遠くへさまよい出て、二度と出発点に戻ってこない確率が正になります。この次元による振る舞いの違いは、物理学における拡散現象などを理解する上で重要な意味を持ちます。

また、長時間のランダムウォークを適切な尺度で捉え直すと、連続的な時間と空間を持つ「ブラウン運動」という別の確率過程に近づくことが知られています。これはドンスカーの定理として定式化されており、ランダムウォークとブラウン運動が密接に関連していることを示しています。ブラウン運動は、液体中の微粒子の不規則な動きを記述するために導入された概念であり、ランダムウォークが離散的なステップの集まりであるのに対し、ブラウン運動は連続的な時間の動きとして定義されます。この関係性は、物理学や金融工学など様々な応用分野で活用されています。

多様な応用分野

ランダムウォークの概念は、非常に広範な分野で応用されています。

物理学: 粒子の拡散現象、高分子の空間的な形状（自己回避ランダムウォーク）のモデル化などに利用されます。
数理ファイナンス: 株価や為替レートの変動モデル、デリバティブ価格の計算などに使われます。
生態学: 動物の探索行動パターンや、種の生息範囲の拡大などをモデル化します。
情報科学: インターネット上の情報の広がり方や、ウェブページの重要度を計算するアルゴリズム（PageRankなど）の一部に利用されています。
* 宇宙論: 宇宙空間における銀河や星の分布（レビのダスト）のモデル化に使われることがあります。

自己回避ランダムウォークのように、過去の軌跡に制約があるような特殊なランダムウォークも研究されており、理論的な解析が困難な場合もあります。

関連する概念

ランダムウォークは、より広い数学の分野である「確率過程」の一種です。確率過程とは、時間の経過と共に確率的に変動する現象を記述するための数学的なモデルです。特に、ランダムウォークは「マルコフ過程」の一種であり、未来の動きが現在の状態のみに依存し、過去の履歴には依存しないという性質（マルコフ性）を持ちます。マルコフ過程や、その離散的な時間版であるマルコフ連鎖は、ランダムウォークを含む様々な確率的なシステムを解析するための基礎となっています。ランダムウォークの研究は、ブラウン運動、量子ウォークなど、他の多くの確率論や統計力学における重要な概念とも深く関連しています。

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