リミットサイクル

リミットサイクルとは

リミットサイクル（英語: limit cycle, フランス語: cycle limite）は、非線形力学系において相空間上に現れる閉じた軌道の一種です。この閉軌道には特別な性質があり、その「近傍」にある他の軌道が、時間の経過（未来または過去）とともにこの閉軌道に引き寄せられ、限りなく近づいていきます。これは、時間と共に収束する「極限閉軌道」や「極限周期軌道」とも呼ばれます。リミットサイクルの概念は、近代力学系の基礎を築いたアンリ・ポアンカレによって1881年に初めて提唱されました。

数学的定義と特徴

力学系の状態を経時的に追跡することで得られる相空間上の軌道のうち、ある一定時間ごとに全く同じ状態に戻るものを「周期軌道」あるいは「閉軌道」と呼びます。数学的には、系の状態変数を $X$、時間を $t$ としたとき、解 $X(t)$ が平衡点（静止点）ではなく、かつ $X(t) = X(t + T)$ となるような最小の正の時間 $T$（周期）が存在する場合、その解が描く相空間上の曲線が周期軌道です。リミットサイクルは、このような周期軌道のうち、その近傍にある他の周期軌道ではない軌道が、時間 $t$ を無限大 $(\text{t} \to \infty)$ またはマイナス無限大 $(\text{t} \to -\infty)$ にしたときにその周期軌道に漸近する（距離がゼロに近づく）ものを指します。極限集合という概念を用いて、ある軌道の時間無限大における極限集合（$\omega$ 極限集合）または時間マイナス無限大における極限集合（$\alpha$ 極限集合）が閉軌道である場合、その閉軌道がリミットサイクルであると定義することも可能です。

リミットサイクルは、線形な力学系では原理的に発生せず、非線形な系でのみ現れる特有の現象です。また、相空間が2次元の場合、リミットサイクルは他の閉軌道とは交わらず、孤立した閉曲線となります。つまり、リミットサイクルのすぐ近くには、リミットサイクル自身以外の周期軌道は存在しません。

安定性と判別法

リミットサイクルの重要な特性の一つがその安定性です。周囲の軌道を自分自身に引き込む性質を持つリミットサイクルは「安定なリミットサイクル」（または漸近安定なリミットサイクル）と呼ばれます。安定なリミットサイクルは、非線形力学系における「アトラクタ」（引き込み先）の一種となります。安定なリミットサイクル上の軌道に小さな外乱が加わっても、時間と共に再び元のリミットサイクルに戻ろうとする性質を持ちます。逆に、周囲の軌道を反発して遠ざける性質を持つものは「不安定なリミットサイクル」と呼ばれます。2次元系などでは、内側からは引き込み外側へは反発する、あるいはその逆のような「半安定なリミットサイクル」も存在し得ます。

周期軌道の安定性を数学的に判別するには、ポアンカレ写像を構成したり、周期軌道の周りでの系の振る舞いを線形近似した変分方程式に対してフロケ理論を適用したりといった手法が用いられます。ポアンカレ写像は、周期軌道を横切る断面を設定し、軌道がその断面を通過する点の列を追うことで連続的な力学系を離散的な写像に変換する手法で、ポアンカレ自身がリミットサイクル研究のために考案しました。これらの手法は有効ですが、任意の非線形微分方程式系に対して解析的に安定性を判定する一般的な方法は存在せず、個別の系ごとに工夫や数値計算が必要です。

存在条件と関連定理

リミットサイクルは、系の次元や性質によって存在できるかどうかが異なります。実数直線上の1次元自律系では周期解そのものが存在し得ないため、リミットサイクルも現れません。2次元以上の自律系や1次元以上の非自律系で初めて周期解やリミットサイクルが現れる可能性が生まれます。前述の通り、リミットサイクルは非線形系に固有の現象であり、線形系には存在しません。また、系のエネルギーが保存される「保存系」や、エネルギーが単調に減少し続ける「勾配系」においてもリミットサイクルは存在しません。リミットサイクルは、系全体のエネルギーが時間と共に減少または増加する「散逸系」において見出されることが多いです。

特に2次元自律系（相平面上の系）においては、リミットサイクルの存在や非存在を判別するためのいくつかの重要な定理があります。ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、平衡点を含まない有界な領域に軌道が存在する場合、その軌道は閉軌道に収束するか、または閉軌道そのものであることを示唆します。これは、このような領域において極限集合が平衡点か閉軌道（リミットサイクルを含む）のいずれかであることを意味します。また、ベンディクソンの条件は、ある領域内で特定の条件（系のベクトルフieldの発散がゼロでなく符号が一定）が満たされる場合、その領域内には閉軌道が存在しないことを示します。特定の形の非線形方程式であるリエナール方程式に対しては、リエナールの定理が安定なリミットサイクルの存在を保証します。

分岐によるリミットサイクルの発生

力学系が持つパラメータの値が変化することで、解の性質が質的に変化する現象を「分岐」と呼びます。リミットサイクルもまた、多くの場合、このような分岐を経て発生したり、その性質を変えたりします。リミットサイクルの発生に関わる代表的な分岐として「ホップ分岐」があります。ホップ分岐では、パラメータの変化に伴って安定だった平衡点が不安定化し、その平衡点の周囲に安定なリミットサイクルが誕生します。逆に、不安定な平衡点に安定なリミットサイクルが衝突して消滅する場合もあります。ホップ分岐は、平衡点の近傍という局所的な場所で起こる分岐です。

これに対し、相空間全体にわたる「大域分岐」もリミットサイクルに関わります。例えば、不安定な平衡点の周りを回る軌道が平衡点に近づきすぎてしまう「ホモクリニック分岐」や、安定なリミットサイクルと不安定なリミットサイクルが衝突して消滅する「サドルノード分岐」などがあります。また、3次元以上の系では、リミットサイクルの周期が次々と倍になっていく「周期倍分岐」という現象が起こり得ます。この周期倍分岐を繰り返し経ることで、リミットサイクルが最終的にカオス的な振る舞いを示す「ストレンジアトラクタ」に変化するルートが存在します。

具体的な例と実世界の現象

リミットサイクルが出現する具体的な系として、様々な数式モデルが研究されています。最も簡単な例の一つに、極座標表示すると動径成分と角度成分の方程式が分離できる2次元系があります。パラメータの値によって、原点が安定な平衡点から不安定になり、その外側に安定なリミットサイクルが出現する様子が観察でき、これはホップ分岐の典型例です。より物理的な現象に近い例としては、三極真空管の発振回路を記述するためにファン・デル・ポールが導入したファン・デル・ポール方程式があります。この方程式は、パラメータ $\mu$ の値によってリミットサイクルの形状が変化し、$\mu$ が大きい場合には「弛張振動」と呼ばれる、ゆっくりとした変化と急激な変化が組み合わされた独特の波形を示す安定なリミットサイクルを持ちます。このリミットサイクルは、初期値に関わらず特定の振動状態に落ち着く性質を示します。

3次元系では、気象学の研究から生まれたローレンツ方程式や、より単純な非線形項を持つレスラー方程式などにもリミットサイクルが見出されます。これらの系では、パラメータを変化させることで、リミットサイクルが周期倍分岐を繰り返し、最終的にカオスアトラクタへ遷移する過程を観察できます。周期倍分岐は、リミットサイクルが多重巻きになる現象であり、相空間の次元が3次元以上であるからこそ可能となる振る舞いです。

リミットサイクルの概念は、現実世界の様々な現象、特に「自励振動」のメカニズムを理解するための強力なツールとなります。自励振動とは、外部からの周期的な入力がなくても、系自身の内部的なエネルギー供給と散逸のバランスによって自然に発生し、持続する振動です。機械式のメトロノームが一定のリズムを刻み続けることや、心臓が自律的に拍動すること、神経細胞が周期的に発火することなど、多くの物理的、生物学的なリズム現象は、リミットサイクルを持つ力学系としてモデル化することでその安定性や周期性を説明できます。外乱があっても元の安定な振動状態に戻るというリミットサイクルの性質は、これらの現象の頑健性（恒常性）を理解する上で非常に重要です。

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