ルート系

ルート系の概要

数学におけるルート系（root system）とは、ユークリッド空間内の特定の幾何学的性質を持つベクトルの集合を指します。この概念は、主にリー群やリー環の理論において基本的な役割を果たします。

ルート系の定義

ルート系は、以下の条件を満たす非ゼロベクトルの有限な集合として定義されます。まず、有限次元のユークリッドベクトル空間Vを考え、その標準的な内積記号(・,・)を用います。そして、ルート系は、以下の条件を満たす集合Φです。

1. 集合Φの任意のベクトルαに対して、−αもΦに含まれる。
2. あるベクトルβに対して、実数nにより、βの鏡映が他のベクトルをまた別のベクトルに写す。
3. 任意のルートの間の内積は整数である。
4. ルートの間の差は、整数倍である。

この中で、ルートとはΦに含まれるベクトルのことを指します。また、著者によっては、条件2と3のみを基にルート系を定義することもあります。このような場合、条件4を満たすルート系は「結晶的」と呼ばれ、条件2が省略されると「被約」と言われます。

ルート系の性質と階数

ルート系の階数は、ルート系が張るユークリッド空間の次元に等しいため、その重要な特性となります。さらに、二つのルート系が共通のユークリッド空間の互いに直交した部分空間を持つ場合、それらのルート系は結合することが可能です。このようにできないルート系は「既約」と呼ばれます。

ルート系の内積とワイル群

ルート系におけるベクトル間の演算は、標準的な内積とは異なり、第一の変数についてのみ線形で、対称性が保証されないことに注意が必要です。ルート系から生成される変換群を「ワイル群」と呼び、これは有限のルート系に厳密に作用します。ワイル群は、ルート系の構造を理解する上でも重要な役割を果たします。

階数2の例とその特性

ルート系の具体例として、階数1の場合は単純に二つの非ゼロベクトルからなるルート系{α, −α}があります。階数2の場合は四つの可能性が存在し、それぞれが生成する格子によって識別されます。例えば、A1 × A1とB2はどちらも正方格子を形成します。階数2のルート系は、正ルートと呼ばれる集合を持ち、これらはルートの選び方において一意的な性質を持ちます。

歴史的背景

ルート系のアイデアは、1889年頃にヴィルヘルム・キリングによって初めて提案されました。彼は簡潔にリー環を分類するためにルート系を使用しましたが、その過程でいくつかの誤りも生じました。これをカルタンが訂正し、以降、ルート系はリー理論の重要な要素として位置付けられるようになりました。

ルート系の応用と数学への影響

ルート系は、数学の他の分野にも広く応用されており、特にディンキン図形による分類やその性質は、数学における多くの理論と密接に関連しています。ルート系を利用して、複雑な構造やアルゴリズムの分析が行われています。また、ルート系はスペクトルグラフ理論などにも重要な役割を果たすことがあります。

最後に

このように、ルート系の概念は非常に多様な応用を持ち、数学の深化に貢献しています。今後の研究においてもその進展は期待されており、数学界における重要なテーマであり続けるでしょう。

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