レスターの定理

レスターの定理とレスター円

レスターの定理は、平面幾何学における興味深い結果の一つで、任意の不等辺三角形が持つ特定の4つの重要な点が、一つの円周上にあることを主張しています。この定理は、1997年にジューン・レスターによって初めて発表されました。

定理の内容

レスターの定理が対象とする三角形は、三辺の長さがすべて異なる「不等辺三角形」です。この定理によれば、以下の4つの点が必ず同一円周上に存在します。

1. 外心: 三角形の各辺の垂直二等分線が交わる点であり、三角形の外接円の中心です。
2. 九点円の中心: 三角形の各辺の中点、各頂点から対辺に下ろした垂線の足、垂心と各頂点の中点という九点を通る円の中心です。オイラー円とも呼ばれます。
3. 第一フェルマー点: 三角形の内部または外部に存在する点で、各頂点からの距離の和が最小となる点です。三角形の内角がすべて120度未満の場合は内部に、そうでない場合は外部に位置します。
4. 第二フェルマー点: 各頂点からの距離の和が最大となる点です。こちらは常に外部に存在します。

レスターの定理は、これら4つの点が特別な関係を持ち、一つの円を描くことを示しています。

レスター円の命名と位置づけ

レスターの定理によって存在が示されたこの特別な円は、著名な幾何学者であるClark Kimberlingによって「レスター円（Lester Circle）」と名付けられました。Kimberling氏が運営する三角形の中心に関するオンライン百科事典「Encyclopedia of Triangle Centers」では、このレスター円の中心はX(1116)として登録されており、三角形の幾何学における標準的な参照点の一つとして認識されています。

証明方法

レスター自身は、この定理を複素数を用いて証明しました。その後、様々な数学者によって異なるアプローチからの証明が試みられ、成功しています。初等幾何学の手法を用いた直感的な証明や、ベクトルの性質を利用した解析的な証明、さらにはコンピュータを用いた計算による証明なども発表されており、この定理の妥当性が多様な観点から確認されています。

特別のケース：二等辺三角形

レスターの定理は「不等辺三角形」を対象としていますが、これは重要な条件です。もし三角形が二等辺三角形である場合、前述の4つの点は同一円周上ではなく、すべて同一直線上に並んでしまいます。したがって、この場合にはレスター円を定義することはできません。

定理の拡張

レスターの定理は、その後の研究者によってさらなる拡張や一般化が行われています。

Bernard Gibertによる拡張: Paul Yiuによって紹介されたBernard Gibertの研究（2000年発表）によれば、三角形のキーペルト双曲線（三角形に関連する特別な双曲線）上に直径の両端があり、かつその直径が三角形のオイラー線（外心、重心、垂心が通る直線）と直交するような円は、常に2つのフェルマー点を通ることが示されています。

Dao Thanh Oaiによる一般化: さらに近年、Dao Thanh Oaiは直角双曲線を用いることで、より広い範囲に適用できる共円性に関する一般化を発表しました。この一般化では、ある直角双曲線上に特定の条件を満たす複数の点を定義します。例えば、双曲線上の2点H, Gと、その接線がHGと平行になる2点F+, F-、さらに接線がHG上の点Eを通る2点K+, K-などを考えます。そして、K+K-とHGの交点をDとし、線分DEの垂直二等分線と双曲線の交点をG+, G-と定義すると、これら多数の点の中から選ばれた6点（D, E, F+, F-, G+, G-）が同一円周上にあることが示されています。これは、レスターの定理が示す4点の共円性が、より一般的な幾何学的配置の一部として捉え直せることを示唆しています。

レスターの定理とその関連研究は、三角形の幾何学における中心点や特別な曲線、そして共円性という古典的なテーマが、現代においてもなお活発な研究対象であることを示しています。

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