ワイトマンの公理系

ワイトマンの公理系について

ワイトマンの公理系（Wightman axioms）は、場の量子論を数学的に厳密に定式化する試みの一つです。この公理系は、1950年代初期にアーサー・ワイトマンにより提唱され、その後、ハーグ・ルエル散乱理論の重要性が認識され、1964年に正式に出版されました。ワイトマンの公理系は、構成的場の理論における厳密な基礎を提供し、場の理論の厳密な取り扱いの基盤を築くことを目指しています。特に、ミレニアム問題の一つであるヤン-ミルズ理論における質量ギャップ問題の解決には、ワイトマン公理系を確立することが求められています。

理論的根拠

公理系の出発点には、ポアンカレ群のユニタリ表現をなすヒルベルト空間の存在があり、これによりエネルギー、運動量、角運動量、重心の概念が確立されます。また、4次元運動量のスペクトルは、正エネルギー側の光円錐に限定されるという安定性条件が設けられていますが、これは局所性の原理を満たすには不十分であるため、量子場と呼ばれる位置依存作用素を導入する必要がありました。ここで注意が必要なのは、場の量子論における紫外発散の問題です。これに対処するため、ワイトマンの公理系ではテスト関数に対する「なすりつける」操作を通じて、自由場においても発生する紫外発散の扱いを考慮しました。

公理系は、空間的に分離された場の間に可換性または反可換性を課すことにより、理論の因果構造を制限します。また、ポアンカレ不変な状態としての真空の存在を要求し、その一意性を仮定します。さらに、メソッドによって得られたベクトルが全ヒルベルト空間の稠密な部分集合を形成することも要求されています。公理系は、因果律に関しても制限を設けており、「なすりつけた」場の多項式が台の因果的閉包で任意の精度で近似できることを条件としています。

公理系

公理系にはいくつかの重要な前提が存在します。まずは相対論的量子力学の原則に基づくワイトマンの公理について、量子力学はフォン・ノイマンの枠組み内で記述され、特に純粋状態やヒルベルト空間内のスカラー積、遷移確率等が定義されています。続いて、場の定義に関しては各テスト関数に対する場の連続性と共変性の条件が設けられています。さらに、空間的に分離された場の間の可換性が要求され、真空の存在やその循環性が仮定されています。これらの公理は、場の理論における因果構造やスピンと統計の関係などを導出するための基礎を提供しています。

公理系の結果

これらの公理系からは、CPT対称性、スピンと統計の関係、不可能性に関する理論が導かれます。特に、スピンが半整数の粒子は反交換関係を持ち、整数スピンの粒子は通常の交換関係を持つという結果が得られます。また、二人の観測者が空間的に離れている場合、一方の行動が他方に影響を及ぼさないことから、光速度を超える通信は不可能であるという結論も導かれます。

ワイトマンの公理系は、時空変換の群に基づく不変性や、それに伴うエネルギー運動量の4ベクトルに関連する定理を提供します。理論が質量ギャップを持つ場合、真空期待値の分布は質量に依存しない広範な領域で安定することが示されています。ハーグの定理によれば、相互作用が存在するとき、ヒルベルト空間での相互作用が認められないことも明らかになっています。

他のフレームワークへの関係

ワイトマンの公理系は、局所場の理論とは異なり、因果関係の制限を理論から導出します。また、スピン状態のスーパーセレクションや、ソリトンのような有限のエネルギー状態に関連する性質にも影響を与えます。この理論の中で、次元が2や3での相互作用を持つ理論の存在が報告されているものの、次元4で相互作用を持つ理論については、未だに厳密な証明がない状況です。ワイトマンの公理系は、ゲージ理論や有効場理論をカバーしていないことも注目されます。特に、アーベルゲージ理論において正規化されたアプローチは、この公理系とは異なるアプローチであり得ることが考慮されます。

最後に、オスターワルダー・シュラーダーの再構成定理を通じて、ユークリッド的な場の量子論がワイトマンのフレームワークに再構成される可能性があることを示しています。この理論は、2次元や3次元の相互作用を持つ様々な理論に適用できる重要な手法となるでしょう。

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