ヴァイルの定理 (幾何学)

ヴァイルの定理

幾何学におけるヴァイルの定理は、多角形に外接する円と内接する円の関係にまつわる重要な定理です。この定理は、1878年にヴァイルによって、フランスの数学者ジョゼフ・リウヴィルが編集した著名な数学雑誌『Journal de Mathématiques Pures et Appliquées』上で発表・証明されました。定理の名称は証明者の名に由来しており、文献によっては『ワイルの定理』や『ウェイルの定理』といった表記が用いられることもあります。

定理の内容

ヴァイルの定理が対象とするのは、辺の数が3以上の多角形と、その多角形に外接する一つの円、そして内接する一つの円です。ここで重要なのは、ポンスレの閉形定理として知られる幾何学的事実です。この定理によれば、ある二つの円に対して、それらをそれぞれ外接円と内接円とするようなn角形が一つでも存在する場合、そのようなn角形は無限に描き続けることができる、すなわち無数に存在します。

ヴァイルの定理は、このような状況下にある無数のn角形群において、ある不変量が存在することを明らかにしました。具体的には、各多角形の辺が内接円と接する点を順に結んでできる新たなn個の頂点を持つ多角形を考えます。ヴァイルの定理は、この新たな多角形の「幾何中心」が、元のn角形の形状に関わらず常に一定の点となることを主張します。この不変な点が「ヴァイル点」(Weill point)と呼ばれています。

ケイシーによる拡張

ヴァイルの定理の発表から10年後の1888年、アイルランドの数学者ジョン・ケイシーがこの結果をさらに拡張しました。彼は、n個ある内接円の接点から任意のm個（ただしn≧m>0を満たす整数）を選んでできる点の集まりの幾何中心が描く軌跡が、常に一つの定円となることを発見したのです。ヴァイルの定理が示すヴァイル点は、このケイシーの発見におけるm=n、すなわち全ての接点を選んだ場合の特別なケースにあたります。

三角形におけるヴァイル点

特にn=3の場合、すなわち三角形におけるヴァイル点は、その辺が内接円と接する三つの点を結んでできる「接触三角形」の重心として定義されます（一般に、三角形の場合、幾何中心は重心と一致します）。

三角形の性質をまとめた著名なオンラインデータベース『Encyclopedia of Triangle centers』では、この点が「X(354)」という識別番号で登録されています。

ヴァイル点Wは、三角形の内心Iと外心Oを結ぶ直線（OI線またはオイラー線とは異なります）上に位置します。そして、ヴァイル点と外心の間の関係は、内心を特定の比率で内分するという形で表されます。ヴァイル点Wと外心Oは、内心Iを `WI : IO = r : 3R` の比率で内分します。ここで `r` は内接円の半径、`R` は外接円の半径です。この比率は、三角形の辺長 `a, b, c` や半径 `r, R` を用いて、より詳細に `(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) : 6abc` と表現することもできます。

ヴァイル点の位置は、その三線座標によっても特定されます。これは三角形の各辺からの（符号付き）距離の比率として定義され、ヴァイル点の三線座標は `((b-c)^2 - a(b+c)) : ((c-a)^2 - b(a+c)) : ((a-b)^2 - c(a+b))` という比率で与えられます。

さらに、三角形のヴァイル点は、アダムス円やコンウェイ円と呼ばれる他の重要な円が三角形の辺と交わる合計6つの点からなる集合の幾何中心とも一致するなど、他の様々な幾何学的な点や図形と興味深い関係を持っています。

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