三次関数

三次関数とは

三次関数（英：cubic function）は、次数が3の多項式関数のことを指します。一般的な形は以下のようになります：

$$
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$

ここで、$a$, $b$, $c$, $d$は実数の定数で、$a
eq 0$である必要があります。この関数は、実数体$R$上の多項式として定義され、実数値を返す実一変数関数として考えられます。

性質

無限遠での振る舞い

三次関数は最高次数の係数によって振る舞いが異なります。具体的には、係数$a$が正であれば、次のように無限大に発散します：

$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty,
\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty
$$

係数$a$が負の場合は、逆の振る舞いを示し、次のようになります：

$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty,
\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty
$$

零点の性質

三次関数は連続的であるため、中間値定理が適用でき、必ず少なくとも1つの実数零点を持ちます。代数方程式理論の基本定理によれば、任意のn次多項式は高々n個の零点を持つため、三次関数の零点の数は1つ以上3つ以下となります。零点の配置については、カルダノの公式などで分析することができます。

単調性と極値

三次関数は微分可能であり、その一階導関数は次のようになります：

$$
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$

導関数の判別式$D = 4b^2 - 12ac$が正の場合、三次関数は1つの極大値と1つの極小値を持ちます。逆に、判別式が負の場合は狭義単調関数となります。

変曲点と対称性

三次関数は1つの変曲点を持ち、その位置は次の式で求められます：

$$
x_W = -\frac{b}{3a}
$$

この変曲点において、関数のグラフは点対称です。

正規形

任意の三次関数は、適切な平行移動と拡大縮小を行うことで、以下の正規形に変形可能です：

$$
g(u) = u^3 + ku
$$

ここで、$k$は$-1, 0, 1$のいずれかの値を取ります。それぞれの場合において、次のような特徴があります：

• - $k = -1$: 二つの極値点を有する。
• - $k = 0$: 一つの鞍点となる。
• - $k = 1$: 極値点や鞍点を持たない。

この変換は極値の存在性を変えないため、もとの関数にも同様の特徴が適用されます。

三次放物線

三次放物線は三次関数のグラフが描く平面曲線であり、その性質は平行移動に不変です。したがって、$b = d = 0$の特定の三次多項式を検討することで十分です。

参考文献

• - Szecsei, Denise (2006), Calculus, Career Press, ISBN 9781564149145.
• - Weisstein, Eric W. “Cubic Polynomial”. mathworld.wolfram.com (英語)。

以上が三次関数に関する概略です。数学における重要な概念の一つであり、さまざまな応用が存在することを理解しておくことが大切です。

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