不連続線型写像
数学において、線型写像は線型空間の代数的な構造を保つ基本的な写像です。また、より複雑な写像を一次近似する際にも重要な役割を果たします。線型空間に距離や位相といった構造が付与された（位相線型空間となった）場合、線型写像がその位相に関して連続であるかどうかが問われることがあります。特に無限次元の位相線型空間、例えば無限次元のノルム空間においては、線型写像は必ずしも連続であるとは限りません。このような連続性の性質を持たない線型写像を不連続線型写像と呼びます。
XおよびYをノルム空間とし、fをXからYへの線型写像とします。もし定義域であるXが有限次元であるならば、線型写像fは常に連続であることが知られています。これは、有限次元空間においては任意のノルムが互いに同値であり、基底を用いて線型写像の振る舞いを分析することで、その写像が「有界」であることが示されるためです。有界線型作用素は連続線型作用素と同義であるため、有限次元の場合には連続性が保証されます。
しかし、Xが無限次元空間の場合、有限次元で用いたような単純な有界性を示す証明は成り立ちません。終域Yが零ベクトル空間のみである場合を除いて、つまりXが無限次元でYが零ベクトル空間でない場合には、不連続線型写像が存在し得ます。
不連続線型写像の存在を示す方法はいくつかありますが、定義域の完備性によって議論の難易度が異なります。
完備でない空間の例：完備でない空間においては、比較的容易に不連続線型写像の例を構成できます。例えば、区間 [0, 1] 上で定義された滑らかな実数値関数の空間を考え、これに一様ノルムを与えます。この空間は完備ではありません。この空間上の線型写像として「一点 (例えば x=0) での微分」を考えると、これは線型ですが連続ではありません。具体的に、一様ノルムではゼロに収束する関数列でありながら、その微分像が無限大に発散するような関数列を構成することが可能です。これは、空間に「穴」があることによって連続性が失われる例と解釈できます。
完備空間における非構成的な例：定義域が完備な空間（例えばバナッハ空間）の場合、不連続線型写像の構成はより複雑になり、多くの場合、選択公理に依存する非構成的な方法が用いられます。例えば、実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見なした場合の基底（ハメル基底）は、選択公理を用いてその存在が示されます。このハメル基底を利用して、特定の基底ベクトルに対して不連続性を引き起こすように値を定め、それを線型に拡張することで、連続でない実数上の Q-線型写像を構成できます。このような写像は R-線型写像としては連続になりません。
より一般的に、完備であるかどうかにかかわらず、無限次元のノルム空間（終域が零ベクトル空間でない場合）には必ず不連続線型写像が存在することが証明できます。この証明は、空間内に線型独立なベクトル列を選び、その像を非有界となるように定義し、それを空間全体に線型拡張するという手法で行われます。この拡張の過程で、線型独立系を基底に拡張する操作が必要となり、そこに選択公理が用いられます。したがって、完備な定義域を持つ不連続線型写像の存在は、選択公理に依存することが多いです。実際に、構成的な（具体的な式で与えられる）不連続線型写像の例は、完備な定義域に対しては知られていません。
多くの標準的な数学の枠組みでは選択公理が仮定されているため、無限次元空間における不連続線型写像の存在は一般的に認められています。しかし、選択公理を仮定しない集合論の体系においては、不連続な線型実関数が存在しないモデルも存在することが知られています。これは、不連続線型写像の存在が集合論の根幹、特に選択公理と深く結びついていることを示しています。
位相線型空間からその基礎体への連続線型写像全体は、その空間の双対空間を構成します。無限次元ノルム空間においては、全ての線型汎関数（基礎体への線型写像）が連続であるとは限らないため、全ての線型汎関数からなる「代数的双対空間」と、その部分集合である「連続的双対空間」とを区別する必要があります。この区別は、無限次元空間の解析学が有限次元の場合とは異なる複雑さを持つ一因となっています。
不連続線型写像の概念は、ノルム空間だけでなく、より一般的な位相線型空間にも拡張されます。距離化可能な位相線型空間、特にフレシェ空間でも不連続な線型写像が存在し得ます。一方で、すべての線型汎関数が連続となる無限次元の局所凸位相線型空間も存在します。また、0 < p < 1 の場合のLp空間のような非局所凸空間では、零汎関数以外に連続な線型汎関数が存在しない、つまり双対空間が自明となる場合があることも知られています。
不連続線型写像は、無限次元空間における解析学を考察する上で不可欠な概念であり、その存在は空間の構造や集合論的な仮定と深く関わっています。
有限次元線型写像の連続性
XおよびYをノルム空間とし、fをXからYへの線型写像とします。もし定義域であるXが有限次元であるならば、線型写像fは常に連続であることが知られています。これは、有限次元空間においては任意のノルムが互いに同値であり、基底を用いて線型写像の振る舞いを分析することで、その写像が「有界」であることが示されるためです。有界線型作用素は連続線型作用素と同義であるため、有限次元の場合には連続性が保証されます。
無限次元空間における不連続性
しかし、Xが無限次元空間の場合、有限次元で用いたような単純な有界性を示す証明は成り立ちません。終域Yが零ベクトル空間のみである場合を除いて、つまりXが無限次元でYが零ベクトル空間でない場合には、不連続線型写像が存在し得ます。
不連続線型写像の例
不連続線型写像の存在を示す方法はいくつかありますが、定義域の完備性によって議論の難易度が異なります。
完備でない空間の例：完備でない空間においては、比較的容易に不連続線型写像の例を構成できます。例えば、区間 [0, 1] 上で定義された滑らかな実数値関数の空間を考え、これに一様ノルムを与えます。この空間は完備ではありません。この空間上の線型写像として「一点 (例えば x=0) での微分」を考えると、これは線型ですが連続ではありません。具体的に、一様ノルムではゼロに収束する関数列でありながら、その微分像が無限大に発散するような関数列を構成することが可能です。これは、空間に「穴」があることによって連続性が失われる例と解釈できます。
完備空間における非構成的な例：定義域が完備な空間（例えばバナッハ空間）の場合、不連続線型写像の構成はより複雑になり、多くの場合、選択公理に依存する非構成的な方法が用いられます。例えば、実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見なした場合の基底（ハメル基底）は、選択公理を用いてその存在が示されます。このハメル基底を利用して、特定の基底ベクトルに対して不連続性を引き起こすように値を定め、それを線型に拡張することで、連続でない実数上の Q-線型写像を構成できます。このような写像は R-線型写像としては連続になりません。
一般の存在定理と選択公理
より一般的に、完備であるかどうかにかかわらず、無限次元のノルム空間（終域が零ベクトル空間でない場合）には必ず不連続線型写像が存在することが証明できます。この証明は、空間内に線型独立なベクトル列を選び、その像を非有界となるように定義し、それを空間全体に線型拡張するという手法で行われます。この拡張の過程で、線型独立系を基底に拡張する操作が必要となり、そこに選択公理が用いられます。したがって、完備な定義域を持つ不連続線型写像の存在は、選択公理に依存することが多いです。実際に、構成的な（具体的な式で与えられる）不連続線型写像の例は、完備な定義域に対しては知られていません。
選択公理に関する注意
多くの標準的な数学の枠組みでは選択公理が仮定されているため、無限次元空間における不連続線型写像の存在は一般的に認められています。しかし、選択公理を仮定しない集合論の体系においては、不連続な線型実関数が存在しないモデルも存在することが知られています。これは、不連続線型写像の存在が集合論の根幹、特に選択公理と深く結びついていることを示しています。
双対空間への影響
位相線型空間からその基礎体への連続線型写像全体は、その空間の双対空間を構成します。無限次元ノルム空間においては、全ての線型汎関数（基礎体への線型写像）が連続であるとは限らないため、全ての線型汎関数からなる「代数的双対空間」と、その部分集合である「連続的双対空間」とを区別する必要があります。この区別は、無限次元空間の解析学が有限次元の場合とは異なる複雑さを持つ一因となっています。
ノルム空間以外での不連続性
不連続線型写像の概念は、ノルム空間だけでなく、より一般的な位相線型空間にも拡張されます。距離化可能な位相線型空間、特にフレシェ空間でも不連続な線型写像が存在し得ます。一方で、すべての線型汎関数が連続となる無限次元の局所凸位相線型空間も存在します。また、0 < p < 1 の場合のLp空間のような非局所凸空間では、零汎関数以外に連続な線型汎関数が存在しない、つまり双対空間が自明となる場合があることも知られています。
不連続線型写像は、無限次元空間における解析学を考察する上で不可欠な概念であり、その存在は空間の構造や集合論的な仮定と深く関わっています。
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