二体問題

古典力学における二体問題

古典力学において、二体問題は互いに重力相互作用を及ぼし合う2つの質点の運動を解明する問題です。私たちの身の回りにも、この二体問題に当てはまる現象は多く存在します。例えば、惑星の周りを公転する衛星、恒星の周りを回る惑星、互いの重心を中心に公転する連星系、そして古典的なモデルにおける原子核の周りを回る電子などが挙げられます。

注目すべき点は、全ての二体問題は、巧妙な数学的変換を用いることで、実際は2つの質点の運動を扱うよりも単純な一体問題へと帰着させることができる点です。しかしながら、この扱いの容易さは二体問題のみに限られます。三体問題や、さらに多くの質点を含む多体問題になると、特殊な条件下を除いて、解析的な解を得ることが非常に困難になります。

問題の記述

二体問題を数式で記述するために、いくつかの変数を定義します。

`t`：時刻
`x₁`(t)`：時刻 t における質点1の位置ベクトル
`x₂`(t)`：時刻 t における質点2の位置ベクトル
`m₁`：質点1の質量
`m₂`：質点2の質量
`G`：万有引力定数
`x₁`(0)`：質点1の初期位置ベクトル
`x₂`(0)`：質点2の初期位置ベクトル
`v₁`(0)`：質点1の初期速度ベクトル
`v₂`(0)`：質点2の初期速度ベクトル

二体問題の最終的な目標は、以下の連立微分方程式を解き、質点1と質点2の位置ベクトル `x₁`(t)` と `x₂`(t)` を、初期条件と時間 `t`、万有引力定数 `G` を用いて表現することです。


{m₁d²x₁/dt² = -Gm₁m₂(x₁-x₂)/|x₁-x₂|³
m₂d²x₂/dt² = -Gm₁m₂(x₂-x₁)/|x₂-x₁|³


この方程式は、それぞれの質点に働く重力（万有引力の法則）を表しています。

ニュートンの運動の第二法則より、それぞれの質点に働く力を以下のように記述できます。


F₁₂(x₁,x₂) = m₁d²x₁/dt² (式1)
F₂₁(x₁,x₂) = m₂d²x₂/dt² (式2)


ここで、`F₁₂`は質点2から質点1に働く力、`F₂₁`は質点1から質点2に働く力を表します。

これらの連立方程式を解くことで、質点1と質点2の軌跡 `x₁`(t)` と `x₂`(t)` を求めることができます。この解法において、二体問題を一対の一体問題に帰着させることが鍵となります。

重心の運動

式(1)と式(2)を辺ごとに足し合わせると、重心の運動を表す方程式が得られます。ニュートンの運動の第三法則（作用反作用の法則）`F₁₂ = -F₂₁`を用いると、


m₁d²x₁/dt² + m₂d²x₂/dt² = 0


となります。この式は、重心の加速度がゼロであることを意味し、重心の速度と運動量は一定であることを示しています。重心の位置ベクトル `xcom` は次のように定義されます。


xcom = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂)

相対運動

次に、質点2に対する質点1の相対運動を考えます。式(1)から式(2)を引くことで、相対変位ベクトル `r = x₁ - x₂` の時間変化を表す式が得られます。

最終的に、換算質量 μ を用いて、以下の式が得られます。


μd²r/dt² = F₁₂(x₁,x₂) = F(r)


ここで、換算質量は


μ = m₁m₂/(m₁+m₂)


と定義されます。この式は、質点間の相互作用が相対変位ベクトル `r` のみに依存することを示しています。

軌跡の記述

重心の運動と相対運動の解を組み合わせることで、質点1と質点2の軌跡 `x₁`(t)` と `x₂`(t)` を以下の式で表すことができます。


x₁(t) = xcom(t) + (m₂/(m₁+m₂))r(t)
x₂(t) = xcom(t) - (m₁/(m₁+m₂))r(t)


これらの式は、それぞれの質点の位置が、重心の位置と相対変位ベクトルによって決定されることを示しています。

まとめ

二体問題は、一見複雑に見えるかもしれませんが、重心運動と相対運動という二つの独立した運動に分解することで、比較的容易に解くことができます。この解法は、天体力学や原子物理学など、様々な分野で応用されています。

関連項目

ケプラーの法則
ビリアル定理
二体ポテンシャル
ケプラー問題

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