二面角

二面角：2つの平面が織りなす角度

二面角とは、2つの平面が交わる際に形成される角度のことです。2つの平面が平行であれば二面角は0°、垂直であれば90°となります。

二面角の定義と計算

数学的には、2つの平面の法線ベクトルを用いて二面角を定義します。平面Aの法線ベクトルをa、平面Bの法線ベクトルをbとすると、二面角φは下記の式で表されます。

φ = Arccos((a・b) / (|a| |b|))

ここで、a・bはaとbの内積、|a|と|b|はそれぞれaとbの大きさです。この計算により得られるφは、通常0°～180°の範囲で表されます。ただし、多面体などでは、0°～360°の範囲で表すこともあります。また、面の向きを考慮しない場合は、絶対値を取り、0°～90°の範囲で表すこともあります。

二面角は、2つの平面に垂直な平面での断面を考えると、2直線のなす角度として理解しやすくなります。

化学における二面角

化学において、二面角は分子構造の立体配座を決定する重要な要素です。例えば、A-B-C-Dと結合した4原子の場合、A-B結合とB-C結合がなす面の間の角度が二面角となります。有機化合物では、結合距離や結合角に比べて二面角の自由度が高いため、分子の立体構造を理解する上で非常に重要です。

立体化学における二面角

立体化学では、二面角を用いて分子の立体異性体を区別します。例えば、X…A-B…Yのような単結合を持つ分子では、A-B結合回りの立体配座の違いによって異性体が存在します。この違いを、X, A, Bの成す平面とA, B, Yの成す平面の間の二面角を用いて表現します。

二面角の大きさによって、以下の用語が用いられます。

シン（syn, s）: 0°～±90°
アンチ（anti, a）: ±90°～180°
クリナル（clinal, c）: 30°～150°または-30°～-150°
ペリプラナー（periplanar, p）: 0°～±30°または±150°～180°

これらの用語を組み合わせることで、より詳細な立体配置を表現することもできます。例えば、シンペリプラナー（sp）、シンクリナル（sc）、アンチクリナル（ac）、アンチペリプラナー（ap）などです。

タンパク質構造における二面角

タンパク質の構造解析においても、二面角は重要な役割を果たします。タンパク質の主鎖には、φ（ファイ）、ψ（プサイ）、ω（オメガ）の3つの二面角が定義されます。特に、ラマチャンドラン・プロットは、これらの二面角の許容される範囲を視覚的に表すことで、タンパク質の立体構造を予測するのに役立ちます。ペプチド結合の平面性からωは180°（トランス）または0°（シス）に制限されます。側鎖の二面角もタンパク質の構造に影響を与えます。

まとめ

二面角は、数学、化学、生物学など様々な分野で用いられる重要な概念です。2つの平面の角度関係を正確に表現することで、分子構造の理解やタンパク質の構造解析など、様々な問題の解決に貢献します。

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