五進法

五進法とは

五進法（ごしんほう、英：quinary）とは、数を表現する方法の一つで、5を底（てい）として、その冪（べき）を基準に数を表す方法です。日常生活で一般的に使われる十進法とは異なり、五進法は5つの数字（0, 1, 2, 3, 4）を使って数を表現します。

五進記数法

五進記数法は、5を底とする位取り記数法です。五進法で表された数を五進数と呼びます。表記には、0から4までの5つの数字を使用し、五を10、六を11、七を12…と表記します。この表記法では、一桁に入る数は4までであり、5は次の桁に繰り上がります。

例えば、(14)₅という表記では、左の「1」は五を、右の「4」は四を表し、合わせて九を表します。桁が一つ左に移動すると値は5倍になり、右に移動すると1/5になります。

以下に、五進表記の整数と十進表記の対応を示します。

(20)₅ = 10 (2 × 5¹)
(32)₅ = 17 (3 × 5¹ + 2)
(100)₅ = 25 (1 × 5²)
(121)₅ = 36 (1 × 5² + 2 × 5¹ + 1)
(224)₅ = 64 (2 × 5² + 2 × 5¹ + 4)
(311)₅ = 81 (3 × 5² + 1 × 5¹ + 1)
(400)₅ = 100 (4 × 5²)
(1000)₅ = 125 (1 × 5³)
(1331)₅ = 216 (1 × 5³ + 3 × 5² + 3 × 5¹ + 1)
(10000)₅ = 625 (1 × 5⁴)
(13000)₅ = 1000 (1 × 5⁴ + 3 × 5³)
(20141)₅ = 1296 (2 × 5⁴ + 0 × 5³ + 1 × 5² + 4 × 5¹ + 1)
(30234)₅ = 1944 (3 × 5⁴ + 0 × 5³ + 2 × 5² + 3 × 5¹ + 4)


五進記数法は、一般的に使用されることは少ないですが、他の進数法の内部に五進法が含まれることがあります。例えば、そろばんやローマ数字は、五と十を基準とするため、二・五進法と呼ばれることがあります。また、マヤ文明の数字は二十進法ですが、五進法を補助的に含んでいます。

小数と除算

五進法では、因数が5のみであるため、5でしか割り切れません。一桁の整数を単位分数にすると、全て循環小数になります。また、十分割（五進表記で1/20）も因数が2と5であるため、割り切れずに循環小数になります。

命数法と数詞

五進命数法とは、5を底とする命数法です。五進法は、片手の指の数に由来すると言われていますが、五進法で数える場合は指は4本で足りると言えます（一桁に4までしか入らないため）。

五以降の数詞は、六を「五一」、七を「五二」のように表現し、十は「二五」、十一は「二五一」というように「M倍の五 + R」として数えます。そして、二十五で新しい数詞が命名されます。

自然言語で五進命数法の数詞を持つ言語は少ないですが、オーストラリアのグマチ語 (Gumatj) で完全な五進法が見られます。また、ウォロフ語やクメール語には五進法を含む十進法、ナワトル語には五進法を含む二十進法が見られます。

以下にグマチ語の数詞を示します。

(グマチ語の数詞の例)

五進法の性質

各桁の和が4の倍数となる数は、4の倍数になります。
各桁の和が偶数になる数は全て偶数になります（5が奇数であるため）。

参考文献

(参考文献リストは省略)

関連項目

二進法
二五進法
三進法
四進法
六進法
十進法
十五進法
二十進法
三十進法

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