交代行列

交代行列について

交代行列は、線形代数学において特別な種類の正方行列として知られています。これは、行列 A がその転置 A⊤ に対して A⊤ = -A を満たす場合に該当します。言い換えれば、行列の要素は対称性を持たず、i 行と j 列の要素が互いに符号が反転した関係にあります。この特性から、交代行列は他の行列と区別され、特に物理や工学の分野において重要な役割を果たすことが多いのです。

交代行列の例

具体例としては、以下の行列を考えることができます。

$$
egin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \ -2 & 0 & -4+i \ 1 & 4-i & 0 \\
ext{ } \\
ext{ } \\
ext{ } \\
ext{ } \\
ext{ } \\
ext{ } \\
ext{ }
ext{ } \\
ext{ } \\
ext{ } \\
ext{ } \\
ext{ } \\
ext{ }
ext{拡張子}\
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
.5 & s_n \ 0 & 0 \
\text{ }
\text{ }
\text{ } \\
\
\text{ } \\
ext{ } \\
ext{ } \\ \text{ }
egin{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \ -2 & 0 & -4+i \ 1 & 4-i & 0\end{bmatrix}
$$
この行列は、交代行列の特性を満たしています。他の対称行列（転置に対して変わらない行列）とは対照的に、交代行列は対称な性質を持たないため、行列の解析や応用において重要です。

特性と数学的性質

交代行列の和やスカラー倍は再び交代行列となるため、これらは線形空間を形成します。この性質から、n 次の全ての交代行列の集合はベクトル空間となります。交代行列の主対角成分は常にゼロであり、上三角の成分を決定すれば、その下三角の成分は符号が反転したものになります。このため、交代行列の次元は n(n-1)/2 となります。

さらに興味深いことに、任意の正方行列 M に対して、歪対称成分を以下の式で求めることができます：
$$A = rac{1}{2}(M - M⊤)$$
この形を使えば、行列 M を交代行列と対称行列の和に分解でき、これにより行列の性質を詳しく調べることができます。

行列式とスペクトル定理

交代行列の行列式は特に興味深い性質を持っていて、n が奇数の場合、行列式はゼロになります。偶数の場合は、行列式はパフ多項式の二乗として表され、これにより実交代行列の行列式は常に非負であることがわかります。さらに、交代行列の固有値は常に ±λ の対として得られ、実交代行列は特に純虚数の非零固有値を持つことが特徴です。

無限小回転とリー群

交代行列の全体は、直交群の接空間を成し、無限小回転と見なすことができます。リー群の文脈では、交代行列の指数関数を取ることで直交行列を生成でき、行列式が 1 の直交行列はすべて交代行列の指数関数として表されることが示されています。

結論

交代行列は、線形代数学の重要な要素であり、数学的な解析や物理的な応用において非常に重要です。その特性を理解することで、様々な分野における行列理論の基盤を構築する助けとなるでしょう。

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