代数的な元

代数的元と超越的元の概念

体論において、可換体 K の拡大体 L の元が K 上代数的であるとは、K の係数が 0 でない多項式によって定義される根であることを意味します。逆に、K 上代数的でない元は K 上超越的であると呼ばれます。これは代数的数と超越数の一般的な概念を表すものです。

特に代数的数は、有理数体 Q の拡大体 C の中で K 上代数的な複素数を指します。例えば、実数の A√2B は、有理数体 Q 上では代数的な数です。一方で、自然対数の底 e や円周率 π は Q 上超越的な数です。Q 上超越的な複素数も実在しますが、すべての複素数 a+bi は実数体 R 上代数的であり、これは多項式 (X − a)² + b² の根として表現できます。

特徴づけ

体 K に含まれるすべての元 a は、明らかに K 上代数的です。なぜならば、元 a に対して多項式 X − a が存在し、その根になるからです。また、K の有限次拡大体の元も同様に K 上代数的です。具体的には、K の有限次拡大は K 上有限次元のベクトル空間で構成されるため、1, a, a², ..., an の線形従属関係を有し、自分を根に持つ多項式を生成します。

代数的元または超越的元についての性質は、K および a に基づいた K の最小部分環 K[a] を利用することで特徴づけることができます。環 K[a] の元は、a に関する多項式の形で表現される L の元です。すなわち K[a] は、多項式環 K[X] における X を a に写す環準同型 φ によって形成されます。この準同型が単射でない場合、ある多項式が a で消えることは同値です。さらに、a が K[X] の多項式の根であれば、a は K[a] が根体であるような既約多項式の根でもあります。まとめると、以下のような重要な関係が成り立ちます。

1. 元 a が K 上超越的であることは、K[a] と K[X] が同型であることと同値です。
2. 元 a が K 上代数的であることは、K[a] が体であることと同値です。

また、K(a) を a を含む L の最小の部分体と定義すると、次のような重要な定義ができます。

• - 元 a が K 上代数的であることと、K(a) = K[a] であることは同値である。
• - 元 a が K 上代数的であることと、K の拡大 K(a) が有限次拡大であることは同値です。これは、K 上代数的な任意の元が K の有限次拡大の元であることを示しています。

安定性

この特徴づけにより、K 上代数的な二つの元の和や積もまた K 上代数的であることが示されます。具体的に言うと、元 a と b が K 上代数的であれば、a + b および ab は K(a, b) に含まれます。このことは、K(a) の b による拡大が K 上代数的であることに基づき成り立ちます。

加えて、K 上代数的な元 a は 0 でない限り、その逆元は a を根に持つ多項式の相反多項式の根であり、したがって K 上代数的であるとされます。这が示すのは、K 上代数的な L の元全体は L の部分体を形成することです。

n に関して帰納法を用いると、K 上代数的な元の有限集合 a1, ..., an が与えられたとき、それを K に追加した拡大 K(a1, ..., an) のすべての元もまた K 上代数的であることが言えます。このような、すべての元が代数的であるような拡大は「代数拡大」と呼ばれ、必ずしも有限次であるとは限なく、有限個の代数的な元によって生成されるとは限りません。

次数と最小多項式

K 上代数的な元の「次数」というのは、拡大 K(a) / K の次数として定義されます。つまり、これにおいて a は代数的であり、その際の K-ベクトル空間 K[a] の次元としても計算されます。したがってこれはまた a の最小多項式（a が消える際の最小次数のモニック多項式）の次数とも相互関係を持ちます。

結合多元環

K の拡大 L は、体 K 上の結合多元環としても考えられます。この場合における元が K 上代数的であることは、K の係数を持つ 0 でない多項式の根であることを意味します。同じく、多元環 E が K 上有限次元である場合、E のすべての元は K 上代数的であることが確かです。

参考文献

• - Chambert-Loir, Antoine (2005), Algèbre corporelle. Éditions de l’École Polytechnique.
• - Lang, Serge, Algebra.

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