位相体

位相体

位相体（いそうたい、英語: topological field）とは、数学において、体の代数的構造と位相空間の構造が互いに調和するように定義された特別な空間です。具体的には、体 K に位相が与えられ、その上で加法、乗法、加法逆元、およびゼロ以外の元に対する乗法逆元といった体の基本的な演算が、この位相に関してすべて連続写像となる空間のことを指します。ただし、空間全体の集合と空集合のみが開集合となる自明な「密着位相」が与えられた体は、通常、位相体の定義から除外されます。

この定義を満たすことから、位相体 K は加法に関しては位相群としての性質を持ち、また、ゼロを除く元の集合 K^× は乗法に関して位相群としての性質を持ちます。

具体例

様々な位相体が知られています。

任意の体に「離散位相」を導入すれば、それは位相体となります。離散位相ではすべての部分集合が開集合となるため、演算の連続性は自明に満たされます。
実数体 R や複素数体 C は、それぞれ通常の絶対値から定まる距離位相によって位相体となります。これは解析学で最も基本的な例です。
有理数体 Q に、任意の素数 p に対して定義される p-進付値から導かれる距離位相を与えたものも位相体の一例です。

位相体は位相環の一種ですが、位相環が必ずしも位相体になるとは限りません。例えば、有理数体 Q にある特定の位相を入れると位相環にはなりますが、すべてのゼロ以外の元に対する乗法逆元をとる操作が連続にならない場合があり、位相体とはなりません。このことから、体の演算すべてに対する連続性が位相体にとって重要であることがわかります。

性質

位相体の性質は、体演算の連続性から多くのことが導かれます。

開集合の性質: 演算の連続性により、空でない開集合 U と体 K の点 a に対して、U を a だけ平行移動した集合 U + a はやはり開集合となります。同様に、ゼロでない元 a に対する aU や、ゼロを含まない開集合 U に対する逆元集合 U^-1 も開集合となります。
ゼロの近傍系による特徴づけ: 位相体の位相は、ゼロの近傍系の性質によって完全に特徴づけることができます。具体的には、ゼロの基本近傍系が加法群および乗法群の位相群としての条件を満たすことに相当するいくつかの条件が成立します。
ハウスドルフ性: 位相体は必ずハウスドルフ空間となります。これは異なる二点を互いに交わらない開集合で分離できるという性質であり、位相空間論において基本的な良い性質とされています。密着位相が除外される理由の一つでもあります。
連結性: 位相体は位相空間として連結であるか、あるいは完全不連結であるかのいずれか一方です。もし位相体が連結であれば、その体の標数はゼロであることが知られています。したがって、有限体上の位相体は必ず完全不連結となります。
局所コンパクト性: 局所コンパクト性は位相体において重要な性質であり、これを満たす位相体は第一可算公理を満たします。しかし、第一可算公理を満たすすべての位相体が局所コンパクトであるわけではありません（例えば、絶対値による位相を持つ有理数体）。局所コンパクトな位相体は、代数学的にも位相幾何学的にも非常に素性の良い対象であり、その構造が詳しく分類されています。

局所コンパクト位相体の分類

離散位相を持つ位相体は無数に存在しますが、離散位相ではない位相を持つ局所コンパクト位相体は、驚くほど少ないことが知られています（ここでは非可換体も考慮に入れます）。

連結な場合: 連結である局所コンパクト位相体は、実数体 R、複素数体 C、または四元数体 H のいずれかと同型であることが知られています。これらの体の位相は、それぞれの絶対値が定める距離位相と同相になります。
連結でない場合: 連結でない局所コンパクト位相体は、p-進体 Q_p の有限次拡大体や有限階数の斜体、または有限体 F_q 上の1変数ローラン級数体 F_q((t)) の有限次拡大体や有限階数の斜体のいずれかと同型になります。これらの体の位相は、p-進付値やローラン級数体の付値といった非アルキメデス付値から導かれる距離位相と同相になります。

これらの分類結果から、局所コンパクトな位相体はすべて、何らかの付値によって定まる距離位相を持ち、その距離に関して完備であることがわかります。逆に、完備な付値体は局所コンパクトな位相体となります。したがって、位相体の局所コンパクト性という性質は、付値体の完備性という性質と同等であると言えます。

完備化

位相体 K を位相環と見なすことで、その完備な位相環 ${\widehat{K}}$ を構成することができます。しかし、${\widehat{K}}$ は一般には体になるとは限らず、たとえ体になっても位相体であるとは限らず、また位相体であっても乗法に関して完備になるとは限りません。

例えば、互いに異なる素数 p, q に対して、有理数体 Q に p-進付値と q-進付値の両方から定まる特定の位相を入れると位相体になりますが、その完備化は体の直積 Q_p × Q_q と同相になり、これは体ではありません。

しかし、いくつかの条件下では、完備化 ${\widehat{K}}$ が良い性質を持ちます。特に、K が可換体である場合や、${\widehat{K}}$ が局所コンパクトである場合には、${\widehat{K}}$ が位相体であれば乗法に関しても完備となります。このことから、例えば、乗法が可換で標数が0である位相体の完備化が位相体になるならば、その完備化は実数体 R またはある素数 p に対する p-進体 Q_p の部分体と同型となることが知られています。

位相体は、代数学的な構造と位相的な構造が協調する興味深い数学的対象であり、特に局所コンパクトなものは完備付値体として完全に分類されるなど、その構造が深く理解されています。これは数論、代数幾何学、関数解析学など、様々な分野で重要な役割を果たします。

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