位相的場の理論

位相的場の理論（TQFT）について

位相的場の理論（Topological Quantum Field Theory、TQFT）は、位相不変量を計算するための場の量子論の一分野です。この理論は、物理学者の研究により確立され、数学的な側面でも様々な関連性が注目されています。特に、結び目理論や代数トポロジー、代数幾何学のモジュライ空間などといった分野と強く結びついています。

概要と基本原理

TQFTの特筆すべき特徴は、相関関数が時空の計量に依存しない点です。これは、時空がトポロジーを変えない限り、形状が変わっても理論が不変であることを意味します。たとえば、時空が曲がったり収縮したりしても、相関関数は変化しません。このため、TQFTは位相不変量の計算において特に有効です。

この理論は、伝統的な素粒子物理学が使用するミンコフスキー時空のような可縮な空間にはあまり適用されません。なぜなら、ミンコフスキー空間上のTQFTは自明な位相不変量を計算することしかできないからです。したがって、TQFTは通常、リーマン面のようなより複雑な曲がった時空で研究されます。実際、現在知られている大部分のTQFTは、五次元未満の時空に定義されています。

TQFTのタイプ

TQFTは一般的に、シュワルツタイプとウィッテンタイプの2つのクラスに分けられます。

シュワルツタイプのTQFT

シュワルツタイプのTQFTでは、系の相関関数や分配関数は、計量に依存しない作用汎関数の経路積分として表現されます。具体的には、例えばBFモデルでは、時空を2次元多様体Mとして定義し、作用は次のようになります。

\[ S = \int_{M} B F \]

ここで、Bは補助スカラー場、Fは2-形式です。この理論では、時空の計量が全く現れず、理論は明らかに位相的な不変であることが示されています。

ウィッテンタイプのTQFT

ウィッテンタイプのTQFTは、1988年にエドワード・ウィッテンによって提案されました。この理論は4次元の位相的ヤン＝ミルズ理論に基づいており、計量が含まれていますが、位相的な変換と結びつけることで計量に依存しない性質を示しています。様々な条件を満たすと、この理論は正当性を持ちます。

数学的な定式化

位相的場の理論は、数学的な枠組みにおいても整然と定義されています。マイケル・アティヤは、位相的場の理論の公理を示し、これがTQFTの公理系の基礎となっています。特に、コボルディズムの圏からベクトル空間の桶への函手であるという観点から、TQFTの理論は構築されています。

物理との関係

TQFTの物理的な側面は、特に量子的な性質と相対論的な不変性との関連性において重要です。理論が相対性理論の枠組みの中でどのように働くのかを理解することも、それ自体が重要な課題となります。

研究の進展と応用

TQFTはその後、さまざまな数学的・物理的研究に進展してきました。特に、サイバーグ-ウィッテン理論や結び目理論との関連性、そして量子結び目不変量に関する研究が進行中です。また、TQFTにおける非局所作用素の研究も注目されています。これらの理論は、今後の多くの可能性を秘めており、解析や応用の進展が期待されます。

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