ヤン＝ミルズ理論

ヤン＝ミルズ理論について

ヤン＝ミルズ理論（Yang-Mills Theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提案された、非可換ゲージ場に関する理論です。少し前にヴォルフガング・パウリと内山龍雄が同様の理論を完成させていたとの情報もありますが、発表のタイミングにより、ヤンとミルズの功績が先に評価されています。これにより、彼らの理論は素粒子物理学、特にゲージ理論において非常に重要な位置を占めるようになりました。

理論の位置づけ

この理論は、可換対称性に基づくゲージ理論から派生したもので、非可換対称性を取り入れることで、更なる進展を遂げました。ヤン＝ミルズ理論は、非可換ゲージ理論の代表例とされ、関連する理論にはチャーン＝サイモンズ理論なども存在します。当初は、陽子や中性子のアイソスピンを考慮したモデルから派生しており、その後、弱い相互作用の理論であるワインバーグ＝サラム理論に受け継がれました。

現在では、ヤン＝ミルズ理論はカラーSU(3)対称性に基づく量子色力学と密接に関わっており、その研究は依然として活発に行われています。また、理論は超対称性の概念を持つ方向へ拡張され、超対称ヤン＝ミルズ理論（super Yang-Mills theory; SYM）は、様々な超対称性理論の基礎として扱われています。

理論の構成要素

非可換リー群とゲージ対称性

ヤン＝ミルズ理論は、非可換リー群に基づくゲージ対称性を持つことが特徴です。この理論では、リー群の生成子に当たるパラメータを用いて、場の変換を定義します。ここで、各生成子はリー代数の構造定数と連携し、様々な相互作用を説明します。

ゲージ変換

この理論では、局所的なパラメータによるゲージ変換が重要です。場の変換は、生成子の影響を受けることで決定され、これにより場の新たな性質が引き出されます。この相互作用の理解は、基本的な素粒子の性質に直結します。

共変微分とヤン＝ミルズ項

ヤン＝ミルズ理論では、場の微分が共変微分に置き換えられ、ゲージ変換のもとでの一貫性が保持されます。この共変微分により、様々な物質場とゲージ場との相互作用の形を作り出すことが可能になります。また、ヤン＝ミルズ項はラグランジアンの重要な部分を構成し、ゲージ場の強度に関連する式で表現されます。

結合定数と繰り込み群

さらに、ヤン＝ミルズ理論においては、エネルギースケールによって結合定数が変化するという考えが取り入れられています。繰り込み群の理解は、この理論の物理的特徴を解き明かす手段として機能します。例えば、フレーバー数に依存したベータ関数を用いることで、特定の条件下での素粒子間の相互作用の変化を示すことができます。

まとめ

ヤン＝ミルズ理論は、非可換ゲージ場の教義を持ち、素粒子物理学における多くの基盤を成す理論の一つです。さまざまな物理的側面におけるその適用性は、標準模型の中でも特に重要視されており、その普遍性が物理学の間での理論的な議論の中で新たな発見を促すことに繋がっています。

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