位相空間 (物理学)

位相空間：力学系の状態を幾何学的に表現する空間

物理学において、位相空間とは、力学系の状態を幾何学的に表現するための数学的空間です。系の構成要素である粒子の位置と運動量を座標軸とすることで、それぞれの粒子の状態を空間上の点として表します。この空間は、数学における位相空間とは異なる概念であるため、文脈によっては相空間と呼ばれることもあります。

位相空間の次元と表現

系の状態は、構成要素である粒子の位置と運動量によって一意に決定されます。d次元空間を運動する1個の質点の場合、位置と運動量はそれぞれd個の成分を持つため、位相空間は2d次元となります。この空間上の点は状態点と呼ばれ、質点の運動状態を表現します。運動方程式に従い、状態点は時間とともに軌跡を描きます。

複数の質点系を扱う場合、表現方法は2つあります。1つは、各質点の位相空間を個別に考える方法です。この場合、各質点は2d次元の位相空間上の点として表現され、全体として2d次元の位相空間上に複数の状態点が分布することになります。この表現方法はμ-空間と呼ばれます。

もう1つの表現方法は、すべての質点の位置と運動量をまとめて一つの座標系で表現する方法です。N個の質点系では、2Nd次元の位相空間が必要となり、系の状態は1つの状態点として表現されます。時間の経過とともにこの状態点は軌跡を描きます。この表現方法はΓ-空間と呼ばれます。

一次元調和振動子の例

簡単な例として、1次元で運動する1個の粒子（質点）の調和振動子を考えましょう。この系の位相空間は2次元平面となり、粒子の位置をx、運動量をpとすると、状態点は(x,p)で表されます。ばね定数をkとすると、ハミルトニアンHは以下のように表されます。

H = p²/2m + kx²/2

エネルギーが一定の場合、この系の状態点は位相空間上で楕円軌跡を描きます。異なるエネルギーに対応する軌跡は同心円状となり、互いに交わることはありません。このことから、位相空間における軌跡は系のエネルギー保存則を視覚的に表現していることが分かります。

量子力学との関係

量子力学においては、不確定性原理により、位置と運動量を同時に正確に決定することはできません。そのため、量子力学的な粒子の状態は、位相空間上の点ではなく、位置と運動量の確率分布を与える波動関数で表現されます。この確率分布は、古典力学における状態点の代わりに、系の状態を表す重要な情報となります。

まとめ

位相空間は、力学系の状態を幾何学的に表現する強力なツールです。古典力学においては、系の時間発展を軌跡として視覚化し、エネルギー保存則などの物理法則を理解するのに役立ちます。量子力学においても、確率分布という形で、系の状態を表現する上で重要な役割を果たします。位相空間の概念は、物理学の様々な分野で用いられ、複雑な力学系の理解に貢献しています。

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