余接束

余接束（Cotangent Bundle）

定義と基本的な性質

数学、特に微分幾何学の分野において、余接束は滑らかな多様体に付随する重要な構造の一つです。多様体の各点には余接空間と呼ばれるベクトル空間が定まりますが、余接束はこれら各点上の余接空間をすべて集めてできるベクトル束です。これは、多様体の各点における接空間を集めた接束の双対束として記述することもできます。

余接束の滑らかな断面は微分1-形式として知られており、多様体上の微小な量や勾配といった情報を捉えるのに用いられます。

層を用いた定義

余接束は、より抽象的な層論の言葉を用いて定義することも可能です。多様体Mとそのカルテジアン積M×Mを考えます。多様体Mの点pをM×M上の点(p, p)に対応させる対角写像によってM×M内に対角線が定義されます。対角線上のある性質を持つ関数の芽の層を用いることで、余接束はM上の層として定義される局所自由層から得られるベクトル束として捉えることができます。この層の構成は、対角線上のある層を考え、それを商層で割ったものを多様体Mへ引き戻すという操作によって行われます。

多様体の滑らかな写像が存在する場合、その写像は余接束間に特定の誘導写像（引き戻し）を導きます。これは、余接束が多様体の写像に対してある種の反変性を持つことを示しています。

シンプレクティック多様体としての余接束

余接束は、それ自身が滑らかな多様体としての構造を持っています。この多様体としての余接束には、自然な1-形式（カノニカル1-形式、あるいはトートロジカル1-形式とも呼ばれます）と呼ばれる特別な微分形式が存在します。この自然な1-形式は、余接束の局所座標を用いると、基底多様体の座標 `x_i` とファイバー方向の座標 `p_i` に対して `Σ p_i dx^i` という形で表現されます。

この自然な1-形式の外微分を取ることで、余接束上には自然な斜交2-形式が得られます。この斜交形式は非退化であり、余接束をシンプレクティック多様体として捉えることを可能にします。シンプレクティック多様体は、数学や理論物理学において、特にハミルトン力学や幾何学的量子化の分野で重要な役割を果たします。

物理系における相空間としての余接束

シンプレクティック多様体としての余接束の最も重要な応用の一つは、ハミルトン力学における相空間としての解釈です。力学系において、多様体Mが系のとりうる位置の空間を表しているとすると、余接束T*Mは系の位置と運動量の可能な組み合わせすべてからなる空間と見なすことができます。例えば、円周上を運動する質点の系（振り子など）を考えると、位置は円周上の角度で表され、相空間はその円周の余接束、すなわちシリンダーになります。

余接束上の自然なシンプレクティック構造は、この相空間上でハミルトン方程式を定式化するための基礎を提供します。余接束上の任意の実数値関数をハミルトニアンと解釈することで、系の時間発展を記述することができます。

まとめ

余接束は、多様体の余接空間を集めたベクトル束であり、微分1-形式の空間を提供するだけでなく、自然なシンプレクティック構造を持つシンプレクティック多様体として、特に物理学におけるハミルトン力学の相空間として極めて重要な概念です。その構造は、多様体の微分幾何学的性質と力学系の性質を結びつける架け橋となっています。

（参考文献として、Foundations of Mechanics by Abraham & Marsden, Riemannian Geometry and Geometric Analysis by Jost, Symmetry in Mechanics by Singer などが挙げられます。）

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