共焦点円錐曲線

共焦点 (幾何学)

幾何学において、複数の円錐曲線が同じ焦点を共有している状態を「共焦点」、あるいは「共焦」と呼びます。これらの曲線はまとめて「共焦点円錐曲線」または「共焦二次曲線」と呼ばれます。

共焦点楕円と双曲線

楕円や双曲線は通常2つの焦点を持っています。2つ以上の楕円や双曲線が同じ焦点対を共有する場合、それらは共焦点であると言われます。例えば、2つの焦点F₁とF₂を共有する共焦点楕円の集まりや、それらと焦点を共有する共焦点双曲線の集まりが存在します。これらの共焦点な楕円と双曲線には非常に重要な性質があります。焦点F₁とF₂を持つ共焦点な楕円と双曲線は、互いに直交するという性質です。つまり、楕円上の任意の点において、その点を通る共焦点双曲線とその楕円の接線は垂直に交わります。

中心を焦点の中点とし、焦点を(-c, 0)と(c, 0)とする座標系では、共焦点な楕円や双曲線は、特定の媒介変数λを用いた統一的な方程式で表すことができます。λの値によって楕円または双曲線を示します。

共焦点放物線

放物線は1つの焦点しか持ちません。したがって、共焦点放物線とは、焦点だけでなくその軸も共有する放物線を指します。焦点外の任意の点Pを考えると、その点を通る共焦点放物線は通常2つ存在し、一方が焦点から見てある方向に開き、もう一方は反対方向に開きます。これらの共焦点放物線もまた、点Pにおいて互いに直交するという性質を持っています。焦点を原点とし、軸をx軸とする場合、y²=2xp+p²のような特定の媒介変数pを用いた方程式で表されます。

円

円は、2つの焦点が中心で一致した特別な楕円と見なすことができます。したがって、焦点を共有する円は、中心を共有する円、すなわち同心円となります。同心円とその中心を通る直線は互いに直交します。これは、共焦点楕円と双曲線が直交するという性質の特殊な場合と見なすことができます。

空間への一般化：共焦点二次曲面

共焦点の概念は空間へ拡張され、「共焦点二次曲面」として定義されます。これは、複数の二次曲面が軸を共有し、それらをある平面で切断した断面が共焦点円錐曲線になるような関係です。非退化な共焦点二次曲面の族には、3軸不等な楕円体、一葉双曲面、二葉双曲面などがあります。

これら共焦点二次曲面もまた、特定の半軸長を基に、ある媒介変数λを用いた統一的な方程式で記述できます。λの値の範囲によって、楕円体、一葉双曲面、二葉双曲面となります。

平面の共焦点円錐曲線と同様に、空間の共焦点二次曲面にも直交性があります。特定の点（軸上などを除く）を考えた場合、その点を通る3つの共焦点二次曲面は互いに直交します。

焦点曲線

共焦点二次曲面の族において、媒介変数λがある特定の臨界値に近づくとき、二次曲面は退化して曲線となります。例えば、λがc²に近づくとxy平面上の楕円に、λがb²に近づくとxz平面上の双曲線になります。これらの退化した曲線を「焦点曲線」と呼びます。焦点曲線は、共焦点二次曲面族の「焦点」のような役割を果たします。

応用

共焦点円錐曲線や二次曲面の直交性は、幾何学における座標系の構築に応用されています。平面では、共焦点楕円と双曲線の直交性に基づいた楕円座標系、共焦点放物線に基づいた放物座標系などがあります。円（同心円）と中心を通る直線に基づく極座標系や、無限遠に焦点を持つ直線に基づく直交座標系も、共焦点円錐曲線の族の極限として捉えることができます。また、物理学においては、帯電した楕円体の等位面が共焦点楕円体となるなどの応用があります。

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