冪零群

冪零群（Nilpotent Group）

冪零群とは、群論においてほぼアーベルな性質を持つ特別な群のことを指します。この概念は1930年代にロシアの数学者セルゲイ・チェルニコフによって提唱され、以降の数学的探求において重要な役割を果たしています。冪零群は可解群に属し、特に有限冪零群においては、位数が互いに素な二つの群が可換であるという特性を持っています。さらに、有限冪零群は超可解でもあります。

冪零群の定義

ある群が冪零であるためには、次のような同値な条件が成り立つ必要があります。まず、有限の長さを持つ中心列が存在しなければなりません。具体的には、以下のような正規部分群の系列が成り立つ必要があります。

\[{\{1\} = G_{0} \triangleleft G_{1} \triangleleft \dots \triangleleft G_{n} = G}\]

この条件は、剰余群がその中心に含まれるか、剰余群の交換子が元の群に含まれることから示されます。冪零群の中心列が自明な群に至る場合、あるいは自己の群に戻る場合、これを通じて冪零度が定義されます。

冪零度 n を持つ冪零群は、無限の形式を持つ中心列を持ち、いつでも n + 1 個の部分群が生成されます。また、冪零度が0である唯一の群は自明群であり、冪零度が1の群は非自明なアーベル群であることも重要なポイントです。

冪零群の例

任意のアーベル群は冪零であり、さらに四元数群 Q8 のような非アーベルな群もその一例です。Q8の中心は位数2の部分群を持っており、このことから冪零度2の例として理解できます。さらに、任意の有限 p-群は冪零であり、冪零度の最大値は群の位数に依存します。

加えて、冪零群の直積もまた冪零群であり、特に非アーベルの無限冪零群の一例としてハイゼンベルク群が挙げられます。ある体上の冪単行列も冪零群に分類されますが、一般的には冪零群ではない場合があります。これにより、冪零群の理解は多岐にわたります。

冪零群の重要な性質

冪零群の性質を探ると、昇中心列による部分群の剰余群は全てアーベル群です。任意の冪零群は、比較的単純な可解群の構造を持っています。冪零度がnの冪零群に含まれる部分群もまた冪零度が高くともn以内であるため、群の構造を分かりやすく解析できる特性を持っています。また、有限群において冪零性が持つ重要な性質として、正規化された部分群が真の部分群であることが挙げられます。

最後に、冪零群の構造においては、任意のシロー部群が正規部分群となることや、シロー部群の直積が群における位数有限な元全体の部分群と一致することも特筆されます。このような性質は、冪零群を理解し、さらにその応用を考える上での重要な基盤となります。

結論

冪零群の概念は、群論の中で極めて重要であり、アーベル群や非アーベル群の性質を理解する手助けとなります。その数学的魅力と応用は広く、群論だけでなく他の分野にも影響を与えています。冪零群の研究は、今後とも数理科学の発展に寄与し続けることでしょう。

もう一度検索