凹多面体

凹多面体とは？

幾何学において、凹多面体とは、その構成要素である面同士のなす角度、すなわち二面角が180度を超える多面体を指します。これは、平面図形における凹多角形と凸多角形の関係を多面体へと拡張した概念です。

凸多面体は、任意の2点を結ぶ線分が常に多面体の内部を通る性質を持ちますが、凹多面体では、この性質が成立しません。つまり、多面体の内部にへこんだ部分が存在するのです。このへこみによって、二面角が180度を超える状況が生じます。

分かりやすく例を挙げると、星型正多面体などがその典型例と言えるでしょう。星型正多面体は、正多面体の各面を延長することで作られる多面体であり、明らかに内部にへこんだ部分が存在します。また、中心に穴の開いたドーナツのような形をした穿孔多面体も凹多面体です。これらの多面体は、いずれも二面角が180度を超えているため、凹多面体として分類されます。

一方、正多面体や半正多面体は、どの二面角も180度以下であり、常に凸多面体となります。正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体といった正多面体は、その美しい対称性からよく知られていますが、いずれも凹むことのない凸多面体です。

興味深いのは、オイラーの多面体定理との関係です。オイラーの多面体定理は、凸多面体において頂点の数（V）、辺の数（E）、面の数（F）の間にV-E+F=2という関係が成り立つことを主張するものです。一般に、凹多面体ではこの定理は必ずしも成り立ちません。しかし、球面に位相同型な凹多面体、つまり、中心に穴の開いていない凹多面体においては、オイラーの多面体定理が成立することが知られています。これは、凹多面体がどれだけ複雑な形状をしていても、その位相的な性質によっては、凸多面体と同様の性質を持つことを示唆しています。

まとめると、凹多面体は、二面角が180度を超える多面体であり、星型正多面体や穿孔多面体がその代表例です。それに対し、正多面体や半正多面体は全て凸多面体です。球面に位相同型な凹多面体においては、オイラーの多面体定理が成り立ちます。凹多面体の幾何学的性質や位相的性質を理解することは、多面体のより深い理解につながります。

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