分配函数 (数学)

分配函数

分配函数（ぶんぱいかんすう、英: partition function）は、確率論や情報科学、力学系の領域で重要な役割を果たす数学的な概念です。この関数は、統計力学における分配函数の一般的な形として理解されています。特に確率論においては、ボルツマン分布に関連して正規化された値の分配函数が用いられ、期待値やグリーン関数の計算に役立てられます。

分配函数の定義

分配函数は、与えられた確率変数とハミルトニアンやポテンシャル関数に基づいて定義されます。具体的には、確率変数 $X_i$ の値とポテンシャル関数 $H(x_1, x_2, ...)$ が与えられたとき、分配函数 $Z(eta)$ は次のように表されます。

$$
Z(β) = egin{cases}
ext{離散的な場合: } \
ext{ } \
\sum_{x_i} ext{exp}(-βH(x_1, x_2, ...))
\text{連続的な場合: } \
ext{ } \
\int ext{exp}(-βH(x_1, x_2, ...)d x_1 d x_2 ...
\end{cases}
$$

ここで、$eta$ は通常、逆温度として解釈され、ポテンシャル関数やハミルトニアンは確率空間の構成を定義します。

確率論への応用

分配函数は、様々な確率的な問題において中心的な役割を果たします。特に、自然な対称性を持つ問題の中で、ギッブス測度はマルコフ性を持ちます。これは、分配函数が遷移的な対称性を持つ場合に成立します。マルコフネットワークや神経ネットワークなどの分野において、分配函数が実用される場面が多く見られます。

情報幾何学との関係

分配函数は、情報理論へのアプローチを提供し、より高次元的な情報幾何学の視点を可能にします。特に、フィッシャー情報計量は分配函数から導出される相関関数として理解され、リーマン多様体の理解を助けます。情報幾何学の多様体は、確率変数やその期待値を求める過程において重要な役割を果たします。

期待値と測度

分配函数は期待値の計算にも利用されます。一般的に、確率変数の期待値は分配函数を用いて、次のように表されます。

$$
E[H] = -rac{ ext{d}}{ ext{d}β} ext{log}(Z(β))
$$

この式は、与えられたハミルトニアン $H$ の期待値を算出するのに役立ちます。さらに、この期待値は、特に物理学において、システムの平均エネルギーを表す際にも利用されます。

量子力学と場の量子論

量子力学においても分配函数は大いに利用されます。経路積分のアプローチによって、場の量子論における分配函数は多くの理論的開発を行う基盤になっています。特に、$Z(β, J)$ として表される関数は、確率変数の期待値を得るために、適切な外部変数を導入することによって利用されます。

結論

分配函数は、熱力学、情報理論、量子力学に関連する分野で幅広く応用される重要な概念です。その理解は、様々な自然現象の解析に不可欠です。分配函数を利用することで、複雑な状況を簡潔に表現することが可能となり、多くの理論的なツールを提供します。

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