加群の層

O加群の層

数学におけるO加群の層（または単に環付き空間上の加群）とは、環付き空間 $(X, \mathcal{O})$ 上で定義される特別な層 $\mathcal{F}$ のことです。ここで、$(X, \mathcal{O})$ とは位相空間 $X$ に環の層 $\mathcal{O}$ が賦与された空間を指します。

O加群の層 $\mathcal{F}$ が満たすべき条件は以下の通りです：

1. $X$ の任意の開部分集合 $U$ に対して、$\mathcal{F}(U)$ は環 $\mathcal{O}(U)$ 上の加群である。
2. 開集合 $U \supset V$ に対する制限写像 $\rho_{U,V}^{\mathcal{F}}: \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$ と $\rho_{U,V}^{\mathcal{O}}: \mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(V)$ は整合的である。すなわち、任意の $f \in \mathcal{O}(U)$ と $s \in \mathcal{F}(U)$ に対して、積 $fs \in \mathcal{F}(U)$ の $V$ への制限は、$f$ の $V$ への制限と $s$ の $V$ への制限の積に等しい： $\rho_{U,V}^{\mathcal{F}}(fs) = \rho_{U,V}^{\mathcal{O}}(f) \cdot \rho_{U,V}^{\mathcal{F}}(s)$。

この定義は、空間の局所的な環構造と、その上に載った「加群のような構造」が互いに協調していることを保証します。

具体例と関連概念

スキーム上の加群: 代数幾何学において最も標準的な状況は、$X$ がスキームであり、$\mathcal{O}$ がその構造層である場合です。この設定でO加群の層は広範に研究されています。
アーベル群の層: もし $\mathcal{O}$ が整数環 $\mathbf{Z}$ の定数層である場合、O加群の層はアーベル群の層（アーベル層とも呼ばれる）と本質的に同じ概念になります。
付随する層: 環 $R$ の素スペクトル $\operatorname{Spec}(R)$ 上の任意の $R$ 加群 $M$ は、自然に $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}(R)}$ 加群の層 $\widetilde{M}$ を定めます。これは付随する層と呼ばれます。同様に、次数環のProj上の次数加群もO加群の層を定めます。これらの構成によって得られるO加群の層は準連接層の重要な例であり、アファインスキームや射影スキーム上では、すべての準連接層がこの形で得られます。
イデアル層: $\mathcal{F}$ が $\mathcal{O}$ の O 部分加群である場合、それはイデアル層と呼ばれます。これは、各開集合 $U$ に対して $\mathcal{F}(U)$ が環 $\mathcal{O}(U)$ のイデアルであるような層です。
幾何学的な層: 滑らかな代数多様体上の接層、余接層、標準層などは、O加群の層の具体的な例です。

圏構造と演算

環付き空間 $(X, \mathcal{O})$ 上のO加群の層全体は、層の準同型を射とするアーベル圏をなします。この圏は十分な単射対象を持つため、大域切断関手 $\Gamma(X, -)$ の右導来関手として層係数コホモロジー $\operatorname{H}^i(X, -)$ が定義され、これは重要な不変量となります。

O加群の層の間には、加群と同様に様々な演算が定義されます。

テンソル積: 2つのO加群 $\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ のテンソル積 $\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}} \mathcal{G}$ （または単に $\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}$）は、前層 $U \mapsto \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{G}(U)$ を層化したO加群として定義されます。
Hom層: $\mathcal{F}$ から $\mathcal{G}$ へのO加群の準同型全体からなる層 $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ が定義されます。これは $U \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}|_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)$ という対応を持つ層です。
双対加群: 特に、$\mathcal{F}$ の双対加群 $\check{\mathcal{F}}$ は $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(\mathcal{F}, \mathcal{O})$ として定義されます。
テンソル代数、外積代数、対称代数: 加群の構成と同様に、O加群に対してもこれらの代数的な構成物が定義されます。例えば、$\mathcal{F}$ のk次外積は前層 $U \mapsto \wedge_{\mathcal{O}(U)}^k \mathcal{F}(U)$ の層化として得られます。階数 n の局所自由層の場合、n次外積 $\wedge^n \mathcal{F}$ は行列式直線束 $\det(\mathcal{F})$ と呼ばれます。
可逆層とピカール群: 階数1の局所自由層は可逆層または直線束と呼ばれ、双対とのテンソル積が構造層 $\mathcal{O}$ と同型になる性質 $\check{L} \otimes L \simeq \mathcal{O}$ を持ちます。可逆層の同型類全体は群をなし、これはピカール群と呼ばれ、通常、一次コホモロジー群 $\operatorname{H}^1(X, \mathcal{O}^)$ と同一視されます。

射と変換

環付き空間の射 $f: (X, \mathcal{O}) \to (X', \mathcal{O}')$ は、O加群の層を異なる環付き空間上の加群の層に変換する手段を提供します。

順像層: O加群 $\mathcal{F}$ から、O'加群の層 $f_\mathcal{F}$ が誘導されます。これは射のデータの一部である $\mathcal{O}' \to f_\mathcal{O}$ という写像を通じて可能になります。
逆像層: O'加群 $\mathcal{G}$ から、O加群の層 $f^\mathcal{G}$ が誘導されます。これは層の逆像と構造層のテンソル積 $\textstyle f^{-1}\mathcal{G} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'} \mathcal{O}$ として定義されます。

順像関手 $f_$ と逆像関手 $f^$ の間には随伴関係が成り立ち、これは層論における重要な性質の一つです。

性質

大域切断による生成: O加群 $\mathcal{F}$ が大域切断によって生成されるとは、$\mathcal{F}$ への全射となるような自由O加群からの準同型が存在することをいいます。これは、局所的な構造がグローバルな切断によって制御されることを意味し、準連接層、シュタイン多様体上の連接層、豊富な直線束など重要なクラスの層がこの性質を持ちます。
移入層とコホモロジー: O加群の圏における移入層は、アーベル層の圏において脆弱層（任意の開集合上の切断がより小さい開集合上に全射的に制限される層）になります。脆弱層の非輪状性により、O加群の圏での層係数コホモロジーは、アーベル層の圏での通常の層コホモロジーと一致することが保証されます。

付随する層の構成

環 $A$ 上の加群 $M$ に対して、その素スペクトル $X = \operatorname{Spec}(A)$ 上のO加群の層 $\widetilde{M}$ を具体的に構成できます。基本的な開集合 $D(f)$ 上で $\widetilde{M}(D(f)) = M[f^{-1}]$（Mのfによる局所化）と定義し、適切な制限写像と貼り合わせの公理を満たすように層を構成します。この構成は、A加群の圏と $\operatorname{Spec}(A)$ 上の準連接層の圏の間の同値を与えます。

次数環とProjの場合も同様の構成が存在し、次数加群からProj上のO加群の層が得られます。

層係数コホモロジーの計算

層コホモロジーは一般に計算が困難ですが、代数幾何学において特に重要な結果として、セールの定理があります。射影多様体上の連接層 $\mathcal{F}$ に対して、十分大きな整数 $n$ を取ると、$\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(n)$ は大域切断によって生成され（定理A）、かつ高次コホモロジー群 $\operatorname{H}^i(X, \mathcal{F}(n))$ ($i \geq 1$) は消滅します（定理B）。これはコホモロジーを計算する上で非常に強力な道具となります。

層の拡大

O加群の層の拡大とは、$\mathcal{F}$ を「部分層」とし $\mathcal{H}$ を「剰余層」とする短完全列 $0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0$ の形で与えられる $\mathcal{G}$ のことです。$\mathcal{F}$ と $\mathcal{H}$ を固定したとき、拡大の同値類全体はアーベル群をなし、これはExt群 $\operatorname{Ext}_{\mathcal{O}}^1(\mathcal{H}, \mathcal{F})$ と同型になります。特に、$\mathcal{H} = \mathcal{O}$ の場合、高次Ext群 $\operatorname{Ext}_{\mathcal{O}}^i(\mathcal{O}, \mathcal{F})$ は層係数コホモロジー $\operatorname{H}^i(X, \mathcal{F})$ と一致します。

O加群の層は、代数幾何学における空間の構造を理解し、それを代数的な手法で解析するための基礎概念であり、コホモロジー論や交叉理論、変形理論など、現代数学の様々な分野で不可欠な役割を果たしています。

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