十角形

十角形：10の辺と頂点を持つ多角形

十角形は、平面上に10本の辺と10個の頂点を持つ多角形です。内角の和は1440度、対角線の本数は35本になります。十角形には様々な種類がありますが、特に正十角形は幾何学的に興味深い性質を持っています。

正十角形の性質

正十角形は、すべての辺の長さが等しく、すべての内角の大きさが等しい十角形です。正十角形の中心角と外角はそれぞれ36度、内角は144度になります。

正十角形の一辺の長さをaとすると、その面積Sは次の式で表されます。

S = (5/2)a²cot(π/10) = (5a²/2)√(5 + 2√5) ≒ 7.69421a²

この式からわかるように、正十角形の面積は一辺の長さの2乗に比例します。また、正十角形に関する様々な三角関数、例えばcos(2π/10) = cos(π/5) = cos36° = (√5 + 1)/4 は、有理数と平方根で表現することができます。

正十角形の作図

正十角形は、定規とコンパスを用いて作図できる図形です。正五角形の作図を応用することで、正十角形を作図することができます。具体的には、正五角形の外接円を利用し、辺の二等分線と円の交点、正五角形と円の交点を結ぶことで正十角形が作図できます。

正十角形と黄金比

正十角形には、黄金比という特別な比率が隠されています。正十角形の一辺の長さと外接円の半径の比は、黄金比(約1.618)に等しくなります。黄金比は、自然界や芸術作品など様々な場面で見られる比率であり、正十角形はその幾何学的な美しさを象徴する図形の一つと言えます。

正十角形と他の図形との関係

正十角形の頂点を一つおきに結ぶと、正五角形が得られます。また、正十角形はジョンソンの立体の面となる最大の多角形であり、6枚の正十角形を組み合わせることで二十・十二面体を作ることができます。これらの関係は、多角形間の幾何学的つながりを示しています。

十角形が登場する事例

十角形は、数学的な興味だけでなく、現実世界でも様々な場面で用いられています。例えば、

総合格闘技のリング（ケージ）が十角形である場合があります。（「デカゴン」と呼ばれることもあります）
イスラム建築におけるギリータイルのパターンの一つとして十角形が使われています。
推理小説『十角館の殺人』では、十角形の建物が重要な役割を果たしています。
名古屋市にある商業施設「ららぽーと名古屋みなとアクルス」の屋外ステージの屋根は十角形であり、「デカゴン」と呼ばれています。

このように、十角形は数学の世界だけでなく、建築、芸術、スポーツなど、多様な分野でその姿を見ることができます。その幾何学的な性質と現実世界での応用は、十角形の魅力の一つと言えるでしょう。

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