半原始環

半原始環とは

代数学における半原始環（セミプリミティブリング、英: semiprimitive ring）またはジャコブソン半単純環は、ジャコブソン根基が零である環を意味します。これは、半単純環をより一般的に拡張したものであり、こうした環は単純加群によっても情報が得られます。有理整数環は具体的な例として挙げられ、まさに半原始的な環の一つです。

定義

環が半原始的であるとは、ジャコブソン根基が零イデアルであることを意味します。この特性は、忠実な半単純左加群を持つことと同じ条件であるため、環の性質を他の観点からも分析できることを示しています。また、逆に言えば、環が忠実な半単純右加群を持つことも、半原始的であることと同値です。さらに、半原始的な環は、左原始環の部分直積と見なすことができます。

特に可換環が半原始的であることは、その環が体の部分直積であることと同じです。また、左アルティン環が半原始的であることは、半単純であることとも等しいのです。そのため、これらの環は「半単純アルティン的」とも分類されることがあります。

例

半原始環には多くの具体例があります。有理整数環はそのうちの一つですが、半単純ではありません。任意の原始環は半原始的であり、また二つの体の直積環は半原始的ですが、原始的ではありません。興味深いことに、任意のフォン・ノイマン正則環も半原始的であるという特性を持っています。

ジャコブソン自体は「半単純環」という用語を単純環の部分直積として定義していますが、この定義は半原始環のより強い概念を示していることに注意が必要です。たとえば、可算無限次元のベクトル空間の自己準同型環は半原始的でありながら、単純環の部分直積ではありません。このように、半原始環はその構造によってさまざまな性質を持つため、代数学における重要な研究対象となっています。

参考文献

• - Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (2nd ed.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1933-5
• - Lam, Tsit-Yuen (1995). Exercises in classical ring theory. Problem Books in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94317-6
• - Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0
• - Kelarev, Andrei V. (2002). Ring Constructions and Applications. World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4

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