半微分可能性

半微分可能性について

微分積分学における半微分可能性（semi-differentiability）とは、実数を変数とする実数値関数の微分可能性に対し、より緩やかな条件を示す概念です。この概念は、特に片側微分に関連しており、関数があるポイントでの挙動を評価する際に重要な役割を果たします。

一次元の場合の定義

考える関数を $f$ とし、実数空間内のある部分集合 $I$ で定義されているとします。特定の点 $a ∈ I$ において、以下のように片側極限を定義します。右微分可能性については、次のようになります：

$$
∂_{+} f(a) := \\lim_{x o a+ \atop x \in I} \frac{f(x) - f(a)}{x - a},
$$

この極限 $∂_{+} f(a)$ が実数として存在する場合、$f$ は点 $a$ において右微分可能と呼ばれ、その値は右微分と称されます。逆に、左微分可能性については次のように定義されます：

$$
∂_{-} f(a) := \\lim_{x \to a- \atop x \in I} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.
$$

ここで、$a ∈ I$ が I の極限点であり、$f$ が左右両方で微分可能であれば、$f$ は点 $a$ において半微分可能であるとされます。このことから、半微分可能性が左右の微分が存在することによって成り立つことがわかります。

注意事項と具体例

微分可能性は半微分可能性と左右の微分が一致することが必要条件であるため、関数が半微分可能であっても微分可能でない例が存在します。例えば、絶対値関数は $a=0$ において半微分可能ですが、微分不可能です。また、半微分可能な関数はその点において連続します。このことから、片側極限の存在が連続性を示唆することが分かります。さらに、全ての実数 $a$ において右微分可能な指示関数 $1_{[0,∞)}$ も例として挙げられますが、0で不連続なため左微分は存在しません。

応用

微分可能な実数値関数がある区間で微分がゼロであるとき、平均値定理からその関数が定数であることが示されます。この微分可能性の条件は、連続性と片側微分可能性に緩和することができます。これをさらに形式化すると、次のような定理が成り立ちます：

「実数値連続関数 $f$ が区間内の全点 $a ∈ I$ において右微分可能であり、その右微分が常にゼロである場合、$f$ は定数関数である。」これは背理法を用いて証明され、仮定に基づいて矛盾を導く形で成立します。

高次元の場合

一次元の定義は、R^n の部分集合上で定義された実数値関数 $f$ に拡張できます。この場合、$f$ が点 $a$ において半微分可能であるとは、任意の方向 $u$ に対し、次の極限が存在することを意味します：

$$
∂_{u} f(a) = \\lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(a + h u) - f(a)}{h}.
$$

このように、半微分可能性はガトー微分可能性よりもさらに緩やかな条件です。また、Rn 内の凸開部分集合上の任意の凸関数は半微分可能であり、一変数の場合、すべての半微分可能関数が連続であることも示されていますが、多変数の場合にこれが成り立つわけではありません。

一般化として、実数値関数の代わりに、Rn やバナッハ空間に値を取る関数を考えることも可能です。それぞれの応用では、数学的な最適化や解析等において重要な役割を果たします。

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