原始元定理

原始元定理についての概要

体論における原始元定理（primitive element theorem）は、有限次体拡大に関する重要な結果であり、特に単拡大と中間体の数に関して興味深い性質を示しています。具体的には、有限次拡大が単拡大であることと、中間体が有限個しか存在しないことが同値であるという内容です。この理論は、体拡大の構造を理解する上での基礎を提供します。

定理の詳細

有限次体拡大を $E \supseteq F$ とすると、$E$ の元 $\alpha \in E$ が原始元と呼ばれるのは、$E = F(\alpha)$ と書ける場合です。このような拡大は単拡大（純拡大）と呼ばれます。この場合、任意の元 $x$ は次の形で表されます：

$$x = f_{n-1}\alpha^{n-1} + f_{n-2}\alpha^{n-2} + \cdots + f_1\alpha + f_0,$$

ここで、すべての $f_i \in F$ です。特に、$E$ が $n$ 次の分離拡大であるならば、固有の原始元 $\alpha$ が存在し、$\{1, \alpha, \ldots, \alpha^{n-1}\}$ が $E$ の $F$ 上のベクトル空間としての基底となります。

例

例えば、有理数体 $\mathbb{Q}$ における拡大 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \supseteq \mathbb{Q}$ や $\mathbb{Q}(x) \supseteq \mathbb{Q}$（ここで $x$ は不定元を表します）は、それぞれ単純な原始元を持つ拡大の例です。具体的には、これらの拡大では原始元が $\ ext{sqrt(2)}$ や $x$ です。

アルティンの定理

1930年代にエミール・アルティンによって定式化された原始元に関するアルティンの定理は、原始元の存在に関する古典的な定理を総括し、拡大の中間体における数の有限性との関係を明らかにしています。定理は以下のように述べられます：

体 $E \supseteq F$ が有限次体拡大であれば、ある元 $\alpha \in E$ に対して $E = F(\alpha)$ であることと、その間に存在する中間体 $K$ が有限個しか存在しないことが同値です。これにより、有限次の分離拡大においても、同様の条件が成り立つことが示されています。

反例と構成的結果

一方で、分離的でない拡大に関しては、反例も存在します。例えば、標数 $p$ の場合、ある条件下で原始元が存在しないことがあり得ます。これにより、様々な数の中間体が存在することになります。構成的な観点から見ると、全ての原始元の集合は $L$ の真の $K$-部分空間に対して有限の集合の補集合であることが示されます。

実例の検討

より具体的な例として、$K = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ という体を考えます。この場合、拡大は単純であり、原始元 $\gamma = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ を選ぶことで $K = \mathbb{Q}(\gamma)$ が成立します。このように、元 $\gamma$ の冪は有理数と多項式の線形結合として表せるため、原始元としての性質を確認することができます。

結論

原始元定理は体論における基礎的な結果であり、代数体の扱いや有限次体拡大の理解において不可欠な役割を果たします。この定理が示す、中間体の数との関係を通じて、体拡大の深い構造を探ることができます。また、具体的な例を通じて本理論の実用的な側面を学ぶことができます。

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