双代数

双代数とは

数学における双代数（英: bialgebra）とは、特定の構造を持つベクトル空間の一種で、代数と余代数の性質を併せ持ちます。体 K 上に定義され、二つの線型写像（乗法と単位射）、および二つの余線型写像（余積と余単位）が関与して構成されるこの概念は、多くの数学的文脈で重要な役割を果たしています。

定義と性質

具体的には、ベクトル空間 B が以下の条件を満たすとき、B は K 上の双代数であると言います：

1. ベクトル空間としての性質: まず、B は K 上のベクトル空間でなければなりません。
2. 代数構造: K 線型の写像 ∇: B ⊗ B → B が存在し、これにより (B, ∇, η) は単位的結合代数として機能します。この単位射 η: K → B も必要です。
3. 余代数構造: また、K 線型の写像 Δ: B → B ⊗ B と余単位射 ε: B → K が存在して、(B, Δ, ε) が余代数としての性質を持つ必要があります。
4. 協調性: これらの構造間の一致性を示すために、いくつかの可換図式が必要です。これにより、乗法と余乗法の間に協調する関係が成り立ちます。

この様式を利用して、津田行列や確率分布などさまざまな数学的概念を表現することができます。

例と応用

双代数の一例としては、群 G の群環があります。ここで、全ての g ∈ G に対する標準基底ベクトルからなるベクトル空間 RG を考えます。各 g に対して、標準基底ベクトル

e_g の線型結合によって確率分布が表され、以下のような余積と余単位の定義によって構成されます。

$$
Δ(e_g) = e_g ensor e_g,
ε(e_g) = 1
$$

この場合、コピーマトリックスを形成することは確率変数の重複を意味し、余単位は確率変数が情報を得る過程を示します。

また、余単位的余代数の構造が維持される限り、双代数のほかの種類、例えばテンソル代数やホップ代数なども存在し、それぞれ独特の役割を持っています。特に、ホップ代数に拡張するためには、双代数の構造と対合射を見つけることが重要です。さらに、リー双代数やフロベニウス代数など、異なった性質を持つ構造もあるため、これらに関する研究も行われています。

結論

このように、双代数は数学的構造を理解するための強力な枠組みを提供し、様々な数学分野で応用されています。双代数の研究は、抽象代数、表現論、幾何学、確率論など、多岐にわたる領域において重要な役割を果たしています。

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